Enunciado

4. A figura dada mostra uma rede viária de ruas de mão única com fluxo de tráfego nos sentidos indicados. As taxas de fluxo ao longo das ruas são medidas pelo número de veículos por hora.

(a) Monte um sistema linear cuja solução forneça as taxas de fluxo desconhecidas.

(b) Resolva o sitema para as taxas de fluxo desconhecidas.

(c) É possível fechar a rua de A para B em virtude de uma obra e manter o tráfego fluindo em todas as direções? Explique.

Passo 1

(a)

Como o exerciocio já adotou o sentido dos fluxos, vamo montar as equações para cada um dos 6 nós:

Nó de cima da esquerda:

x 1 + x 3 = 300 + 5 00

x 1 + x 3 = 800

Nó de cima do meio:

x 1 + x 4 = 200 + x 2

x 1 - x 2 + x 4 = 200

Nó de cima da direita:

x 2 + 100 = x 5 + 6 00

x 2 - x 5 = 500

Nó de baixo da esquerda:

x 3 + x 6 = 350 + 400

x 3 + x 6 = 750

Nó de baixo do meio:

x 7 + 600 = x 4 + x 6

x 4 + x 6 - x 7 = 600

Nó de baixo da direita:

x 5 + 45 0 = x 7 + 4 00

x 5 - x 7 = - 50

Essas equações formam o sistema abaixo:

x 1 + x 3 = 800 x 1 - x 2 + x 4 = 200 x 2 - x 5 = 500 x 3 + x 6 = 750 x 4 + x 6 - x 7 = 600 x 5 - x 7 = - 50

Escrevendo na forma matricial:

1 0 1 0 0 0 0 1 - 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0 - 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 800 200 500 750 600 - 50

Escrevendo a matriz estendida:

1 0 1 0 0 0 0 1 - 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0 - 1 800 200 500 750 600 - 50

Passo 2

(b)

Para resolver o sistema precisamos escalonar essa matriz.

Podemos escrever a segunda linha como se fosse a ultima e manter a ordem das outras:

1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0 - 1 1 - 1 0 1 0 0 0 800 500 750 6 00 - 5 0 20 0

Somando - 1 vez a primeira linha na ultima:

1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 - 1 - 1 1 0 0 0 800 500 750 600 - 50 - 600

Somando a segunda linha na ultima:

1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 0 - 1 1 - 1 0 0 800 500 750 600 - 50 - 100

Somando a terceira linha na ultima:

1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 0 0 1 - 1 1 0 800 500 750 600 - 50 650

Somando - 1 vez a quarta linha na ultima:

1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 1 800 500 750 600 - 50 50

Somando a quinta linha na ultima:

1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 800 500 750 600 - 50 0

Agora, com o sistema escalonado, podemos reescrever na forma de equações e ir resolvendo de baixo para cima:

x 1 + x 3 = 800 x 2 - x 5 = 500 x 3 + x 6 = 750 x 4 + x 6 - x 7 = 600 x 5 - x 7 = - 50

Vamos começar definindo a variável livre:

x 7 = a

Dessa forma:

x 5 - x 7 = - 50

x 5 - a = - 50

x 5 = a - 50

Indo para a quarta equação:

x 4 + x 6 - x 7 = 600

x 4 + x 6 - a = 600

Aqui vamos precisar de outra variável livre, então vamos definir:

x 6 = b

Então:

x 4 + b - a = 600

x 4 = 600 + a - b

Terceira equação:

x 3 + x 6 = 750

x 3 + b = 750

x 3 = 750 - b

Segunda equação:

x 2 - x 5 = 500

x 2 - a - 50 = 500

x 2 = a + 450

E por fim, a primeira equação:

x 1 + x 3 = 800

x 1 + 750 - b = 800

x 1 = b + 5 0

Então a solução do sistema é a seguinte:

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = b + 50 a + 450 750 - b 600 + a - b a - 50 b a

Passo 3

(c)

Se fechássemos a rua de A para B o fluxo x 1 ia ser igual a zero, então:

x 1 = b + 50

0 = b + 50

b = - 50

Nenhum dos fluxos pode ser negativo, pois as ruas tem mão única e os carros não podem andar na contramão, logo, se esse valor de b não acarretar em algum fluxo negativo, nós poderemos fechar a rua, do contrário não vai dar, não.

Vamos ver o que acontece nas outras equações:

Segunda:

x 2 = a + 450

O valor de b não influencia nesse resultado. Para que o fluxo x 2 não fique negativo nós temos que:

a ≥ - 450

Terceira:

x 3 = 750 - b

x 3 = 750 - - 50

x 3 = 800

Quarta:

x 4 = 600 + a - b

x 4 = 600 + a - - 50

x 4 = 6 5 0 + a

Daqui tiramos que:

a ≥ - 650

Quinta:

x 5 = a - 50

Daqui tiramos que:

a ≥ 50

Ou seja, todas as equações podem assumir valores válido quando o valor de x 1 for 0, ou seja, quando fechamos a rua. Quando isso ocorrer temos somente uma condição:

a ≥ 50

Resposta

(a)

x 1 + x 3 = 800 x 1 - x 2 + x 4 = 200 x 2 - x 5 = 500 x 3 + x 6 = 750 x 4 + x 6 - x 7 = 600 x 5 - x 7 = - 50

(b)

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = b + 50 a + 450 750 - b 600 + a - b a - 50 b a

(c)

É possível sim fechar a rua, desde que

a ≥ 50

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