17. Sejam C e D matrizes m \* n e B = {v1, v2, ..., vn} uma base de um espaço vetorial V . Mostre que se C[x]_B = D[x]_B , qualquer que seja x em V , então C = D .

Passo 1

E aí! como vai?

Esse problema diz que C e D são matrizes m × n e B = v 1 , v 2 , … , v n é uma base de um espaço vetorial V .

A partir daí temos que mostrar que se C x B = D x B para qualquer x em V , então:

C = D

Parece complicado?

Passo 2

Vamos começar definindo B como uma base de V , logo, todo vetor x ∈ V pode ser escrito como:

x = ∑ α i v → i → x B = α 1 α 2 ⋮ α n

Dessa forma, x → x B é uma bijetiva de V em R n e x B percorre todos os vetores de R n .

Como C x B = D x B para todo x ∈ V , isso implica que:

C u → = D u →

Para todo u → ∈ R n .

Assim, se C e D satisfazem a equação anterior, então as matrizes são igualmente definidas:

C = D

Ou seja:

S e   C x B = D x B   p a r a   t o d o   x ∈ V ,   e n t ã o   C = D

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

S e   C x B = D x B   p a r a   t o d o   x ∈ V ,   e n t ã o   C = D

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