Enunciado

Um hexágono regular de centro O = ( 0 ,   0 ,   0 ) , contido em O x y , tem dois vértices em O y e seu lado mede 1 . É fácil concluir que os dois vértices que pertencem a O y são A = ( 0 ,   1 ,   0 ) e B = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) . Para obter as coordenadas de um terceiro vértice, C = ( x ,   y ,   z ) , imponha três condições sobre C : pertence a O x y , sua distância a O é 1 , e   A C → ⊥ B C → . Faça os cálculos. O que a sua intuição geométrica: o resultado é razoável ou causa estranheza?

Passo 1

O problema fala de um hexágono no plano O x y , com centro na origem e vértices A = ( 0 ,   1 ,   0 ) e B = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) . Queremos achar um ponto C = ( x ,   y ,   z ) com as condições: pertence a O x y , sua distância a O é 1 , e   A C → ⊥ B C → .

Bom, a primeira condição é simples: para pertencer ao plano O x y , devemos ter z = 0 :

C = ( x ,   y ,   0 )

Passo 2

Para que sua distância até O seja 1 , devemos ter

O C → = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 1

Por outro lado, para A C → ⊥ B C → devemos ter

A C → ⋅ B C → = 0 ⇒ x ,   y - 1 ,   0 ⋅ x ,   y + 1 ,   0 = 0

Portanto,

x 2 + y 2 - 1 = 0 ⇒ x 2 + y 2 = 1

Note que no fundo as duas condições são equivalentes.

Passo 3

Com as condições dadas, não conseguimos achar o ponto C de forma única: existe infinitos pontos com z = 0 e x 2 + y 2 = 1 . Na verdade, todos esses pontos estão na circunferência de centro O e raio 1 . Para que o ponto seja vértice do hexágono (que está inscrito na circunferência), precisaríamos de alguma outra condição!

Resposta

O resultado não é razoável.

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Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano. 2 x + 5 y + z = 10
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano. 6 x + 5 y + 3 z = 15
Determine as coordenadas do vetor diretor da reta de intersecção dos planos x + y + z = 1 e x + z = 0
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 1 + t , y = 2 t , z = 3 t ; x + y + z = 1 .
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 5 , y = 4 - t , z = 2 t ; 2 x - y + z = 5 .