Enunciado

Os hiperboloides de equações x 2 / a 2 + y 2 / a 2 - z 2 / c 2 = 1 e - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 a 2 = 1 são chamados hiperboloides de rotação. Por que?

Passo 1

Para a primeira equação, note que a intersecção do hiperboloide com planos z = k são circunferências de raio a 1 + k 2 / c 2 . De maneira bastante intuitiva, podemos pensar que o hiperboloide pode ser obtido pela rotação, em torno de O z , da hipérbole dada pela equação

y 2 a 2 - z 2 c 2 = 1 x = 0

Passo 2

Da mesma maneira, o segundo hiperboloide pode ser obtido pela rotação do conjunto abaixo em torno de O y :

y 2 b 2 - z 2 a 2 = 1 x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja Ω a quádrica de equação 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 - 8 x - 4 y - 8 z + 8 = 0 . Complete quadrados para provar que Ω é um elipsoide. Faça uma translação do sistema de coordenadas para eliminar os termos
Nos casos em que a intersecção do plano π com o elipsoide Ω for uma elipse, determine seu centro, focos, vértices e excentricidade. Se for uma circunferência, determine o centro e o raio. Ω : x 2 64 +
Seja Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 . Deduza uma condição sobre os números a ,b ,c para que:as intersecções de Ω com planos paralelos a O x y sejam elipses semelhantes. as intersecções de Ω
Prove que elipsoide Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é limitado. Generalize os conceitos de retângulo fundamental e coroa fundamental de uma elipse (capítulo 22 ) para o elipsoide Ω : x 2 / a
Sendo Ω : 2 x 2 - y 2 + 4 z 2 = 1 , determine os planos paralelos aos planos coordenados que interceptam Ω em uma cônica de distância focal 6 .