Enunciado

Identificar as quádricas representadas pelas equações

2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0

Passo 1

Nessa questão, devemos manipular os termos da equação a fim de identificar um modelo que determine qual tipo de quádrica ela é.

Numa análise preliminar, vemos que não existem variáveis elevadas ao expoente 1 . Logo, a quádrica dessa equação está centrada em x 0 ,   y 0 ,   z 0 = ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Passo 2

Vamos começar analisando a equação 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0 .

As equações modelo de quádricas separam os termos com incógnitas de um lado da equação e os escalares do outro lado. Assim, manipulando temos:

2 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 16

Passo 3

Agora, vamos deixar essas incógnitas com um denominador. Para isso, vamos usar da relação

a x 2 = x 2 1 a

Manipulando a equação usando essa relação, temos:

x 2 1 2 + y 2 1 4 + z 2 1 = 16

Passo 4

Por último, vamos colocar o escalar como um escalar elevado ao quadrado. Assim

x 2 1 2 + y 2 1 4 + z 2 1 = 16

x 2 1 2 + y 2 1 4 + z 2 1 = 4 2

O modelo que se parece com essa equação é a equação do elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = k 2

Pronto! Era isso que a questão pedia!

Resposta

A equação representa um elipsoide.

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Sendo Ω : 2 x 2 - y 2 + 4 z 2 = 1 , determine os planos paralelos aos planos coordenados que interceptam Ω em uma cônica de distância focal 6 .
Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que são equidistantes de P = 1,1 , 0 e π : z + 2 = 0 , e identifique-o.
Identifique, em cada caso, a quádrica cilíndrica descrita pela equação dada e comente a posição das geratrizes em relação aos eixos coordenados.(a) y 2 a 2 + z 2 b 2 = 1 (b) z 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 (c)
Identifique a quádrica descrita pela equação dada.(f) x 2 + 4 x y + 4 y 2 + 6 x + 12 y + 5 = 0
Identifique a quádrica descrita pela equação dada.(e) x 2 - 2 x y + y 2 = 0