Enunciado

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 5 x 2 - 6 x y + 5 y 2 - 30 2 x + 1 8 2 y = - 82

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da cônica tiramos que:

a = 5

b =   - 6

c = 5

e = - 30 2

f =   1 8 2

Portanto:

A =   a b 2 b 2 c = 5 - 3 - 3 5

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 2 = 5 - λ - 3 - 3 5 - λ = λ 2 - 10 λ + 16

λ 2 - 10 λ + 16 = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 2

λ 2 = 8

Passo 3

Para determinarmos os vetores U   e   T .

Precisamos que:

A - 2 I 2 X   = 0 →

3 - 3 - 3 3 x y = 0 0

3 x - 3 y = 0

x = y

Solução Geral:

W = α , α ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de w vale 1:

W = 1

W 2 = 1

α 2 + α 2 = 1

α =   ± 1 2

Assim, os eixos deslocados são expressos por:

U = 1 2 , 1 2

T = ( - 1 2 , 1 2 )

P = U , T = 1 2 - 1 2 1 2 1 2

Passo 5

e , f   x   P =   e 1 , f 1

- 30 2 1 8 2 x 1 2 - 1 2 1 2 1 2 = e 1 , f 1

e 1 , f 1 = [ - 12 ,   48 ]

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa cônica:

∁ : 5 x 2 - 6 x y + 5 y 2 - 30 2 x + 18 2 y = - 82 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + e 1 x 1 + f 1 y 1 = - 82

∁ : 2 x 1 2 + 8 y 1   2 - 12 x 1 + 48 y 1 = - 82 ( ÷ - 82 )

∁ : - 1 41 x 1 2 - 4 41 y 1   2 + 6 41 x 1 - 24 41 y 1 = 1

Equação de uma elipse.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

∁ : - 1 41 x 1 2 - 4 41 y 1   2 + 6 41 x 1 - 24 41 y 1 = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 9 x 2 + 6 x y + y 2 - 1 0 10 x + 10 10 y = - 90
Seja uma elipse ou hipérbole com focos em F 1 = ( p , 0 ) e F 2 = - p , 0 . b) Definindo a reta r : x = p e 2 , Mostre que esta cônica pode ser descrita pelo conjunto de pontos P = ( x , y ) tais que
Seja uma elipse ou hipérbole com focos em F 1 = ( p , 0 ) e F 2 = - p , 0 . a) Mostre que x 2 p 2 e 2 + y 2 p 2 1 - e 2 e 2 = 1 . É a equação deste cônica, em que e é a excentricidade.
Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 , com a , b , c , d , e , f∈ R , sendo a , bec não simultaneamente nulos. Sejam a’ e c’ raízes
Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 , com a , b , c , d , e , f∈ R , sendo a , bec não simultaneamente nulos. Sejam a’ e c’ raízes