Enunciado

Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos ( a , b , c ou p ) e determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais: centro, focos, vértices, eixos, assíntotas, diretriz, etc.

(h) 16 x 2 + 16 y 2 - 16 x + 8 y - 59 = 0

Passo 1

Nessa equação não aperece nenhum termo misto:

16 x 2 + 16 y 2 - 16 x + 8 y - 59 = 0

Isso quer dizer que não aparece nenhum produto x y no meio da equação. E nosso único trabalho aqui vai ser a eliminação dos termos lineares!

Comece ohando para os termos que dependem de x :

16 x 2 - 16 x

E dê uma olhada nesse produto notável:

16 x - 1 2 2 = 16 x 2 - 16 x + 16 4

Então, somando 16 / 4 = 4 dos dois lados da nossa equação:

16 x 2 + 16 y 2 - 16 x + 8 y - 59 + 4 = 4

16 x - 1 2 2 + 16 y + 8 y - 59 = 4

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para os termos que dependem de y :

16 y 2 + 8 y

Vamos usar esse produto notável aqui:

16 y + 1 4 2 = 16 y 2 + 8 y + 16 16 = 16 y 2 + 8 y + 1

Então, somando 1 dos dois lados da equação:

16 x - 1 2 2 + 16 y + 8 y - 59 + 1 = 4 + 1

16 x - 1 2 2 + 16 y + 1 4 2 - 59 = 4 + 1

Agora é só reorganizar um pouco:

16 x - 1 2 2 + 16 y + 1 4 2 = 64

Divivindo tudo por 16 :

x - 1 2 2 + y + 1 4 2 = 4

Falta interpretar essa equação.

Passo 3

A equação que tem essa forma aqui:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Descreve uma circunferência de raio r com centro em x 0 , y 0 . Comparando com a nossa equação:

x - 1 2 2 + y + 1 4 2 = 4

Podemos descobrir que ela descreve um círculo que tem esse raio:

r = 4 = 2

E tem centro em:

1 2 ,   - 1 4

Resposta

A equação descreve uma circunferência de raio r = 2 e centro em 1 2 , - 1 4 .

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Utilizando translações e rotações, reduza a equação a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente. Especifique a medida em radianos do ângulo de rotação utilizado. 32 x 2 + 52 x y - 7
Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação; 3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 + 6 2 x + 2 2 y + 2 = 0 . x 2 + 4 y 2 + 3 3 x y - 1 = 0 . x 2 + 4 x y + 4 y 2 - 1 = 0 . 7 x 2 + 5 y 2 + 2 3 x y - 14 + 2 3
Obtenha, em cada caso, equações das retas que contém o ponto P e são tangentes à cônica. 2 x 2 + 6 x y + 2 y 2 + 6 x - 6 y - 27 = 0 P = 6 - 3 2 2 , - 6 + 9 2 2 x 2 + y 2 - 4 x - 6 y + 8 = 0 P = 1,0 16
Faça o esboço da cônica descrita pela equação dada em cada caso. x 2 + 2 3 x y + 3 y 2 + 8 3 x - 8 y + 32 = 0 . x 2 - 2 x y + y 2 - 5 2 x + 3 2 y + 10 = 0 .
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