Enunciado

Utilizando translações e rotações, reduza a equação a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente. Especifique a medida em radianos do ângulo de rotação utilizado.

  1. 32 x 2 + 52 x y - 7 y 2 + 180 = 0 .
  2. 7 x 2 - 6 3 x y + 13 y 2 - 16 = 0 .
  3. x 2 - 5 x y - 11 y 2 - x + 37 y + 52 = 0 .
  4. 4 x 2 - 4 x y + y 2 - 8 5 x - 16 5 y = 0 .
  5. x 2 + y 2 - 2 x y - 8 2 x - 8 2 y = 0 .
  6. 8 y 2 + 6 x y - 12 x - 26 y + 11 = 0 .
  7. 17 x 2 - 12 x y + 8 y 2 = 0 .
  8. 19 x 2 + 6 x y + 11 y 2 + 38 x + 6 y + 29 = 0 .

Passo 1

(e) Notando que (ver equação 23-6)

a c - b 2 4 = 1 ⋅ 1 - 2 2 4 = 0

de modo que não podemos realizar translação. Vamos então aplicar a rotação:

cot ⁡ 2 θ = 1 - 1 - 2 = 0 ⟹ 2 θ = 90 °

Assim, segue que

a ' + c ' = 2 a ' - c ' = - 2 ⟹ a ' = 0   e   c ' = 2

Também temos

d ' = d cos ⁡ θ + e sin ⁡ θ = - 8 2 1 2 - 8 2 1 2 = - 16

e ' = - d sin ⁡ θ + e cos ⁡ θ = 8 2 1 2 + 8 2 1 2 = 0

Portanto, a equação é

2 y 2 - 16 x = 0 ⟹ y 2 = 8 x

que é uma parábola.

Passo 2

(f) Vamos realizar a translação dos eixos:

M 3 = a b / 2 d / 2 b / 2 c e / 2 d / 2 e / 2 f = 0 3 - 6 3 8 - 13 - 6 - 13 11

Assim, temos o sistema

0 h + 3 k - 6 = 0 3 h + 8 k - 13 = 0 ⟹ k = 2 ,   h = - 1

Assim,

f ' = - 6 h - 13 k + 11 = - 9

A equação após a translação é:

8 y 2 + 6 x y - 9 = 0

Passo 3

Vamos realizara rotação:

cot ⁡ 2 θ = 8 6 = 4 3 ⟹ sin ⁡ 2 θ = 1 1 + 4 3 2 = 3 5

Assim, temos o sistema:

a ' + c ' = 8 a ' - c ' = 10 ⟹ a ' = 9 ,   c ' = - 1

Finalmente,

9 x 2 - y 2 = 9 ∴ x 2 - y 2 9 = 1

que é a equação de uma hipérbole.

Passo 4

(g) Note que podemos escrever

17 x 2 - 12 x y + 8 y 2 = 0 ⟺

17 x 2 - 2 ⋅ 3 x ⋅ 2 y + 8 y 2 = 0 ⟺

9 x 2 - 2 3 x 2 y + 4 y 2 + 8 x 2 + 4 y 2 = 0 ⟺

3 x - 2 y 2 + 8 x 2 + 4 y 2 = 0

Como a soma de quadrados de números reais dá zero apenas quando todas as parcelas são nulas, poderemos escrever

3 x - 2 y = 0 ⟹ 3 x = 2 y

x 2 = 0 ⟹ x = 0

y 2 = 0 ⟹ y = 0

Portanto, a única solução possível para a equação é S = 0 ,   0 . Portanto, a cônica é na verdade um único ponto.

Passo 5

(h) Vamos tentar eliminar o termo linear. Temos a = 19 ,   b = 6 ,   c = 11 ,   d = 38 ,   e = 6 , f = 29 .

a b / 2 d / 2 b / 2 c e / 2 d / 2 e / 2 f = 19 3 19 3 11 3 19 3 29

Assim, temos o sistema

19 h + 3 k + 19 = 0 3 h + 11 k + 3 = 0 ⟹ h = - 1 , k = 0

Portanto, segue que

f ' = 19 h + 3 k + 29 = 10

Portanto, temos a nova equação 19 x 2 + 6 x y + 11 y 2 + 10 = 0 . Note ainda que

19 x 2 + 6 x y + 11 y 2 + 10 = 0 ⟺

9 x 2 + 2 3 x y + y 2 + 10 x 2 + y 2 + 1 = 0 ⟺

3 x + y 2 + 10 x 2 + y 2 = - 10

Note que temos a soma de quadrado de números reais, de modo que sua soma nunca pode ser negativa. Logo, o conjunto dado é o conjunto vazio.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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