Enunciado

Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 - 2 x = 0

Passo 1

Nessa equação, nós só temos termos em x e em y , então a figura vai ser uma cônica! O que a gente tem que fazer aqui é usar o teorema 11.4 . 7 para analisar qual tipo de figura que é. Bora então. Primeiro a gente identifica os coeficientes:

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 - 2 x = 0

A = 3 ,   B = 2 ,   C = 3 ,   D = - 2 ,   E = 0 ,   F = 0

Calculando o discriminante:

B 2 - 4 A C = 2 2 - 4 3 3 = - 32

Como o discriminante deu negativo, a equação representa uma elipse!

Passo 2

Agora vamos fazer o processo que ele ensinou pra gente pra determinarmos a posição. Pra isso vamos escrever a equação na forma matricial:

x y 3 1 1 3 x y + - 2 0 x y = 0

Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz que acompanha os termos de segundo grau! Pra isso vamos na definição:

M = 3 1 1 3

det ⁡ M - λ I = 3 - λ 1 1 3 - λ = 3 - λ 2 - 1 = λ 2 - 6 λ + 8

Resolvendo essa equação, vamos encontrar λ = 2   ou λ = 4 . Vamos substituir pra encontrar os autovetores!

λ = 2 :   3 - 1 1 3 - 2 x y = 0 0 → x + y = 0 → y = - x

Então o vetor ( 1 ,   - 1 ) é autovetor associado a λ = 2 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 1 = 1 2 ,   - 1 2 .

λ = 4 :   3 - 4 1 1 3 - 4 x y = 0 0 → - x + y = 0 → y = x

Então o vetor ( 1 ,   1 ) é autovetor associado a λ = 4 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 2 = 1 2 ,   1 2 .  

Passo 3

O próximo passo é substituir na equação matricial!

x ' y ' 2 0 0 4 x ' y ' + - 2 0 1 2 1 2 - 1 2   1 2 x ' y ' = 0

Desenvolvendo:

2 x ' 2 + 4 y ' 2 + - 1 - 1 x ' y ' = 0

2 x ' 2 + 4 y ' 2 - x ' - y ' = 0

Essa equação representa a cônica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' ) . Completando o quadrado:

2 x ' - 1 2 2 2 + 2 y ' - 1 4 2 = 1 8 + 1 16 = 3 16

x ' - 1 4 2 3 32 + y ' - 1 8 2 3 64 = 1

Trocando o referencial:

x ' ' 2 3 32 + y ' ' 2 3 64 = 1

Resposta

Elipse de equação:

x ' ' 2 3 32 + y ' ' 2 3 64 = 1

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