Lista de Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

Ver Teoria

Ache a equação canônica de:

x 2 + y ² - 2 x y + x = 1

Ver solução completa

Ache a equação canônica de:

11 x 2 + 10 y 2 + 6 z 2 - 12 x y - 8 y z + 4 x z - 12 = 0

Ver solução completa

Ache a equação canônica de:

x 2 + x y - y 2 + z 2 + 2 y z

Ver solução completa

Ache a equação canônica de:

y 2 + 2 x y + 4 x z + 2 y z + 6 x + 2 y - 2 z - 3 = 0

Ver solução completa

Ache a equação canônica de:

3 x 2 + 2 y 2 - 3 z 2 + 5 y z = 1

E indique a substituição linear utilizada.

Ver solução completa

Ache a equação canônica de:

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 = 1

Ver solução completa

Ache a equação canônica de:

x 2 + 4 x y - 2 y 2 = 6

Ver solução completa

Ache a equação canônica de:

x y = 1

E indique a substituição linear utilizada.

Ver solução completa

Considere em R 3 o < , > usual. Observe a quádrica cuja equação na base canônica α é:

2 x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 - 6 x z + 2 x + 10 y + 2 z + 4 = 0

Determine outra base β que diagonalize a parte quadrática. Escreva a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) da quádrica em relação a esta base β , e identifique a quádrica.

Ver solução completa

a) Considere em R 4 o < , > usual. Classifique a quádrica Ω cuja equação numa base β ortonormal diferente da canônica é dada por

- u 2 - v 2 + 3 w 2 + 6 w + 4 = 0

b) Encontre a equação desta Ω numa base canônica α sabendo que

I α β = 1 0 0 0 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2

Ver solução completa

O conjunto dos pontos P x ,   y ,   z do espaço, cuja distância até o ponto A 0 ,   2 ,   0 é igual ao dobro de sua distância até o plano y = - 1 , é uma quádrica.

Ache a equação desta quádrica, identifique (ache centro e, semieixos a ,   b   e   c ) e esboce.

Ver solução completa

Considere em R 3 o <   ,   > usual. Observe a quádrica cuja equação na base canônica α é:

- x 2 + 2 y z - y + z = 1

Determine outra base β que diagonalize a parte quadrática. Escreva a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) da quádrica em relação a esta base β , e identifique a quádrica.

Ver solução completa

Considere a quádrica dada por

- x 2 + 2 y z + 2 x + 1 = 0

Determine a equação reduzida(sem termos mistos, nem lineares quando possível) e identifique a quádrica.

Ver solução completa

Considere a quádrica dada por

3 z 2 + 2 x y + 2 2 x + 1 = 0

(a) Determine a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) e identifique a quádrica.

(b) Esboce o gráfico da quádrica identificando a origem e os eixos.

Ver solução completa

Considere a quádrica Ω de equação

x 2 - y 2 - 2 z 2 = 4 z

a) Identifique e esboce Ω .

b) Para cada um dos planos π a seguir, identifique γ = Ω ∩ π . Caso γ seja uma cônica não degenerada, indique as coordenadas de um foco e de um vértice de γ .

i) π : x - 2 = 0

ii) π : y = 0

iii) π : z = 0

Ver solução completa

Seja Σ a quádrica de equação - x 1 2 + 2 x 2 x 3 + x 3 - x 2 - 3 2 = 0 .

a) Reduza a equação de Σ à sua forma normal (também dita forma canônica ou forma reduzida).

Obs: Para efeito da letra (b) a seguir, certifique-se que você ordenou adequadamente a base ortonormal encontrada de modo a garantir uma rotação espacial.

b) Determine a rotação (especificando o eixo orientado e o ângulo de rotação) e a translação (especificando o vetor utilizado para a translação) do sistema de coordenadas ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ) que reduzem a equação de Σ à sua forma normal.

Ver solução completa