Enunciado

Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:

4 x 2 + 4 x y + y 2 - x = 0

Passo 1

Nessa equação, nós só temos termos em x e em y , então a figura vai ser uma cônica! O que a gente tem que fazer aqui é usar o teorema 11.4 . 7 para analisar qual tipo de figura que é. Bora então. Primeiro a gente identifica os coeficientes:

4 x 2 + 4 x y + y 2 - x = 0

A = 4 ,   B = 4 ,   C = 1 ,   D = - 1 ,   E = 0 ,   F = 0

Calculando o discriminante:

B 2 - 4 A C = 4 2 - 4 4 1 = 0

Como o discriminante deu zero, a equação representa uma parábola!

Passo 2

Agora vamos fazer o processo que ele ensinou pra gente pra determinarmos a posição. Pra isso vamos escrever a equação na forma matricial:

x y 4 2 2 1 x y + - 1 0 x y = 0

Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz que acompanha os termos de segundo grau! Pra isso vamos na definição:

M = 4 2 2 1

det ⁡ M - λ I = 4 - λ 2 2 1 - λ = 4 - λ 1 - λ - 4

det ⁡ M - λ I = λ 2 - 5 λ + 4 - 4 = λ 2 - 5 λ

Resolvendo essa equação, vamos encontrar λ = 0   ou λ = 5 . Vamos substituir pra encontrar os autovetores!

λ = 0 :   4 - 0 2 2 1 - 0 x y = 0 0 → 4 x + 2 y = 0 → y = - 2 x

Então o vetor ( 1 , - 2 ) é autovetor associado a λ = 0 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 1 = 1 5 ,   - 2 5 .

λ = 5 :   4 - 5 2 2 1 - 5 x y = - 1 2 2 - 4 x y = 0 0 →

- x + 2 y = 0 → y = x 2

Então o vetor ( 2 ,   1 ) é autovetor associado a λ = 5 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 2 = 2 5 , 1 5 .  

Passo 3

O próximo passo é substituir na equação matricial!

x ' y ' 0 0 0 5 x ' y ' + - 1 0 1 5 2 5 - 2 5   1 5 x ' y ' = 0

Desenvolvendo:

5 y ' 2 + - 1 5 - 2 5 x ' y ' = 0

5 y ' 2 - x ' 5 - 2 y ' 5 = 0

Essa equação representa a cônica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' ) .

Completando o quadrado, obtemos sua posição:

5 y ' - 1 5 2 = x ' 5 + 1 25

Resposta

Parábola de equação:

5 y ' - 1 5 2 = x ' 5 + 1 25

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Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. 3 x 2 + 4 y 2 + 24 x - 8 y + 24 z + 100 = 0
Identifique a figura. Não é necessário dar a posição. 3 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 2 x z = 0
Identifique a figura. Não é necessário dar a posição. y 2 + 2 z 2 + 2 3 y z = 0
Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é: x y + x + y = 0
Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é: 9 x 2 + 16 y 2 + 25 z 2 + 24 x y - 40 x + 30 y = 0