Enunciado

Identifique a figura. Não é necessário dar a posição.

y 2 + 2 z 2 + 2 3 y z = 0

Passo 1

Pra essa questão, vamos precisar só identificar qual é a figura, então não vamos calcular os autovetores para achar a posição da quádrica. Então bora lá! Vamos começar escrevendo a equação na forma matricial.

y 2 + 2 z 2 + 2 3 y z = 0

x y z 0 0 0 0 1 3 0 3 2 x y z = 0

Passo 2

A próxima missão é calcular os autovalores da matriz!

M = 0 0 0 0 1 3 0 3 2

det ⁡ M - λ I = - λ 0 0   0 1 - λ 3 0 3 2 - λ = - λ 1 - λ 2 - λ + 3 λ

det ⁡ M - λ I = - λ 3 + 3 λ 2 + λ

Essa aí tem uma raiz bem de cara, que é o λ = 0 . Vai ser mais fácil de encontrar as raízes!

- λ 3 + 3 λ 2 + λ = 0

λ - λ 2 + 3 λ + 1 = 0

Resolvendo o segundo grau, vamos achar as outras duas raízes!

λ = 3 ± 13 2

Passo 3

Trocando a equação matricial pelo novo referencial, usando a matriz dos autovalores. Tanto faz a ordem que escolhermos! Isso só vai mudar em qual eixo vão estar as coisas, mas como só queremos caracterizar a quádrica, não faz mal.

x ' y ' z ' 0 0 0 0 3 + 13 2 0 0 0 3 - 13 2 x ' y ' z ' = 0

3 + 13 2 y ' 2 + 3 - 13 2 z ' 2 = 0

Essa equação representa a quádrica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' , z ' ) . Ela representa a união de dois planos.

Resposta

Dois planos:

3 + 13 2 y ' 2 + 3 - 13 2 z ' 2 = 0

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