Enunciado

Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que ( A B ) p = A p B p .

Passo 1

Inicialmente, devemos lembrar que AB = BA é uma relação válida para matrizes comutativas. Devemos lembrar, também, que as matrizes possuem uma propriedade de associatividade, ou seja: (AB)C = A(BC).

Passo 2

Agora, partindo para ( A B ) p , podemos desenvolver essa operação como:

( A B ) p = A B ∙ A B ∙ A B ∙ … ∙ ( A B ) , p vezes.

Como as matrizes comutam, podemos reescrever a operação como:

( A B ) p = A B ∙ B A ∙ A B ∙ … ∙ ( B A ) .

( A B ) p = A ∙ B B ∙ A A ∙ B . . .

Passo 3

A p B p pode ser escrito como:

A p B p = A ∙ A ∙ A ∙ A … ∙ B ∙ B ∙ B … , p vezes cada matriz.

Novamente, pela propriedade de comutatividade:

A p B p = A ∙ B ∙ A ∙ B … ∙ A ∙ B … , p vezes para cada matriz.

Ou seja:

A p B p = ( A B ) ∙ ( A B ) … ∙ ( A B ) , p vezes.

Resposta

( A B ) p =   A p B p

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ..., E n = 0 0 ⋮ 0 1 matrizes nx1.Mostre que se B =b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 m b 2 m ⋮⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n m é uma matriz nxm, então E t i B é igual à linh
Verifique que A 3 = 0 - , para A =0 1 0 0 0 1 0 0 0 .
Uma matriz A é chamada nilpotente se A k = 0, para algum inteiro positivo k. Verifique que a matriz É nilpotente.
Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativos. Mostre que:b) Se A é uma matriz nxn e B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k ,Em que
Sejam D =1 0 0 - 1 e P = cos ⁡ θ sin ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ Sabendo-se que A = P t D P , calcule D 2 ,P P t e A 2 .