Enunciado

Uma matriz A é chamada nilpotente se A k = 0, para algum inteiro positivo k. Verifique que a matriz

É nilpotente.

Passo 1

A matriz A dada pode ser manipulada de forma a deslocarmos a diagonal composta de números 1 até que ela deixe de existir. Por exemplo, considerando uma matriz 4x4:

A =   0 1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0

Passo 2

Multiplicando A por ela mesma, ou fazendo A 2 :

A 2 =   0 1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 ∙ 0 1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0

A 2 =   0 0 0 0 1 0 0 1 0   0 0 0 0 0 0 0

Passo 3

Realizando a multiplicação de A 2 por A , ou seja, calculando A 3 :

A 2 ∙ A = A 3 =   0 0 0 0 1 0 0 1 0   0 0 0 0 0 0 0 ∙ 0 1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0

A 3 =   0 0 0 0 0 0 1 0 0   0 0 0 0 0 0 0

Por fim,

A 4 =   0 0 0 0 0 0 1 0 0   0 0 0 0 0 0 0 ∙ 0 1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0

Resposta

Generalizando, infere-se que A k = 0, para algum inteiro positivo k, não importa o valor de n.

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Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que ( A B ) p = A p B p .
Sejam A, B e C matrizes nxn. ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 ? E se AB = BA? Justifique
Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ..., E n = 0 0 ⋮ 0 1 matrizes nx1.Mostre que se A =a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮⋯ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n é uma matriz mxn, então A E j é igual à coluna
b) Determine todas as matrizes A, 2x2, que comutam com toda matriz B, 2x2, ou seja, tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.
b) Sejam B e C matrizes mxn, tais BX = CX, para todo X, nx1. Mostre que B = C.