Enunciado

Uma matriz A é chamada nilpotente se A k = 0 ̄ , para algum inteiro positivo k . Reveja o Exercício 1.1.29 na página 27. Demonstre que se A é nilpotente, então o único autovalor de A é 0. (Sugestão: use o exercício anterior).

Passo 1

E aí, galera! Bom, no exercício anterior vimos que se uma matriz B tem autovalor associado a X , ou seja, B X = λ X , então o autovalor de B k associado a X é λ k , ou seja, B k X = λ k X . Ok, então vamos aplicar A k = 0 ̄ a um vetor X :

A k = 0 ̄ ⇒ A k X = 0 ̄ X = 0 ̄

Assim,o autovalor de A k é λ k = 0 , ou seja, λ = 0 é o autovalor de A . Como a equação acima vale para qualquer vetor X , λ = 0 é o único autovalor possível de A .

Resposta

Veja a resolução acima.

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b) Defina a matriz aleatória M = randi(3, 5). Verifique se os vetores definidos pelas colunas de M são combinação linear de V1, V2 e V3. Tente explicar o resultado.
c) Verifique se V1, V2, e V3 são linearmente independentes. Se eles forem linearmente dependentes, escreva um deles como combinação linear dos outros e verifique o resultado.
Sejam a reta r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano paralelo aos vetores V 1 = ( 1 ,2 ,0 ) e V 2 = ( 1 ,0 ,1 ) passando pela origem. Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao p
Sejam r 1 : x , y , z = ( 1 + 2 t , t , 2 + 3 t ) e r 2 : x , y , z = ( t , 1 + m t , - 1 + 2 m t ) duas retasa) Determine m para que as retas sejam coplanares (não sejam reversas).
Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes?d) { 4,2 - 1 , 6,5 , - 5 , ( 2 , - 1,3 ) }