Enunciado

Seja λ um autovalor da matriz não-singular A com autovetor associado X . Mostre que 1 / λ é um autovalor de A - 1 com autovetor associado X .

Passo 1

E aí, galerinha! Bom, uma informação muito importante é que a matriz é não-singular, então ela tem inversa. Já sabemos que λ é um autovalor da matriz A com autovetor associado X :

A X = λ X

Então, vamos usar o velho truque de aplicar A - 1 pela esquerda em ambos os lados da equação:

A - 1 ( A X ) = λ A - 1 X ⇒ X = λ A - 1 X

Agora, vamos dividir por λ em ambos os lados:

A - 1 X = 1 λ X

Ou seja, conseguimos mostrar que 1 / λ é um autovalor de A - 1 com autovetor associado X . Gostou desse truque? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Esse problema conduziu uma prova do fato de que a multiplicacidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha qu
Esse problema conduz a uma prova do fato de que a multiplicidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que
Esse problema conduziu uma prova do fato de que a multiplicacidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha qu
Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = 1 1 0 1 1 0 0 0 0
Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23