Enunciado

Se A é uma matriz n x n e A k = 0 - , para um k inteiro positivo, mostre que

I n - A - 1 =   I n + A + A 2 … . + A k - 1

Passo 1

Oi, oi galerinha!

Vamos começar lembrando de alguns conceitos importantes

1-A potência de matrizes é dada por: A p = A ∙ A … . A ⏟ p   v e z e s

Ou seja, vamos multiplicar a matriz por ela mesma a quantidade de vezes que indicar o índice. Cuidado, para não aplicar essa potência nos termos da matriz.

2-A distributividade em matriz é aplicada da seguinte forma:

I .   A B + C = A B + A C

I I .   B + C A = B A + C A

Perceba que a ordem é importante, visto que a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Passo 2

Agora, partiu fazer a questão!

Lembrando que toda matriz inversa segue a regra: C C - 1 = C - 1 C = I

Assim, a sentença abaixo precisa ser verdadeira.

I n - A I n + A + A 2 … . + A k - 1 = I n

Vamos desenvolver o lado esquerdo da equação até que ele chegue à matriz identidade I n .

Para facilitar o entendimento do próximo passo, vamos chamar de E a matriz à direita.

I n + A + A 2 … . + A k - 1 = E

Portanto, nossa sentença inicial fica assim:

I n - A E

Como visto no início, podemos aplicar a distributividade. Dessa forma:

I n - A E = I n E - A E

Tirando o E, substituindo-o de volta, temos:

I n I n + A + A 2 … . + A k - 1 - A I n + A + A 2 … . + A k - 1

Blz, até agora tudo certo?

Igualar a soma daquelas matrizes a uma letra, torna visualmente mais fácil a aplicação da propriedade. Mas você pode aplicar a propriedade direto, sem precisar igualar ao E.

Voltando para a questão.....

Novamente, vamos aplicar a distributividade.

I n I n + I n A + I n A 2 … . + I n A k - 1 - A I n - A A - A A 2 … . - A A k - 1

Lembrando que o produto de uma matriz por uma identidade é ela mesma, e quando temos potências de mesma base somamos os expoentes (essa regra se aplica para matrizes), temos:

I n + A + A 2 … . + A k - 1 - A - A 2 - A 3 … . - A k

É possível perceber que existem termos simétricos, ao cortá-los sobram:

I n - A k

Sabendo que A k = 0 - (dado pela questão), nosso resultado é a matriz identidade. Portanto, concluímos a questão.

Resposta

Resposta nos passos

Exercícios de Livros Relacionados

31. Em cada parte, verifique o Teorema 1.7.4 para a matriz dada.(a) A = 2 - 1 - 1 3 (b) A = 1 - 2 3 - 2 1 - 7 3 - 7 4
Nos exercícios 38-39, preencha as entradas marcadas com um x para produzir uma matriz antissimétrica.38. A = x x 4 0 x x x - 1 x
30. Verifique o Teorema 1.7.1 (d) para as matrizes A e B de Exercicio 29
41. Mostramos no Teorema 1.7.3 que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, e só se, as matrizes comutam. Será o produto de matrizes antissimétricas que comutam uma matriz antissimé
43. Encontre uma matriz triangular superior que satisfaça A 3 = 1 30 0 - 8