Responde Aí

Enunciado

31. Em cada parte, verifique o Teorema 1.7.4 para a matriz dada.

(a) A = 2 - 1 - 1 3

(b) A = 1 - 2 3 - 2 1 - 7 3 - 7 4

Passo 1

O teorema 1.7.4 diz que: “Se A for uma matriz simétrica invertível, então A - 1 é simétrica”. Vamos inverter essas duas matrizes para verificar.

Vamos usar as operações com linhas para encontrar a inversa delas, assim como foi feito no Exemplo 4 da Seção 1.5.

Vamos escrever a Matriz A do lado da Matriz Identidade

A I

e ir fazendo alterações nas linhas delas até que a matriz A se torne uma matriz identidade, quando isso ocorrer, onde antes a gente tinha a matriz identidade, agora teremos a matriz inversa de A :

I A - 1  

Passo 2

a)

2 - 1 - 1 3 1 0 0 1

Dividindo a primeira linha por 2 :

1 - 1 / 2 - 1 3 1 / 2 0 0 1

Somando a primeira linha na ultima:

1 - 1 / 2 0 5 / 2 1 / 2 0 1 / 2 1

Multiplicando a ultima linha por 2 / 5 :

1 - 1 / 2 0 1 1 / 2 0 1 / 5 2 / 5

Somando 1 / 2 vez a linha 2 na linha 1 :

1 0 0 1 3 / 5 1 / 5 1 / 5 2 / 5

Como podemos observar essa é uma matriz simétrica, como deveria ser.

A - 1 = 3 / 5 1 / 5 1 / 5 2 / 5

Passo 3

b)

1 - 2 3 - 2 1 - 7 3 - 7 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Somando 2 vezes a linha 1 na linha 2 :

1 - 2 3 0 - 3 - 1 3 - 7 4 1 0 0 2 1 0 0 0 1

Somando - 3 vezes a linha 1 na linha 3 :

1 - 2 3 0 - 3 - 1 0 - 1 - 5 1 0 0 2 1 0 - 3 0 1

Dividindo a segunda linha por - 3 :

1 - 2 3 0 1 1 / 3 0 - 1 - 5 1 0 0 - 2 / 3 - 1 / 3 0 - 3 0 1

Somando a linha 2 na linha 3:

1 - 2 3 0 1 1 / 3 0 0 - 14 / 3 1 0 0 - 2 / 3 - 1 / 3 0 - 11 / 3 - 1 / 3 1

Multiplicando a linha 3 por - 3 / 14 :

1 - 2 3 0 1 1 / 3 0 0 1 1 0 0 - 2 / 3 - 1 / 3 0 11 / 14 1 / 14 - 3 / 14

Somando - 1 / 3 vez a linha 3 na linha 2:

1 - 2 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 13 / 14 - 5 / 14 1 / 14 11 / 14 1 / 14 - 3 / 14

Somando - 3 vez a linha 3 na linha 1:

1 - 2 0 0 1 0 0 0 1 - 1 9 / 14 - 3 / 14 9 / 14 - 13 / 14 - 5 / 14 1 / 14 11 / 14 1 / 14 - 3 / 14

E por fim, somando 2 vezes a linha 2 na linha 1:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 45 / 14 - 1 3 / 14 11 / 14 - 13 / 14 - 5 / 14 1 / 14 11 / 14 1 / 14 - 3 / 14

Como podemos observar essa é uma matriz simétrica, como deveria ser.

A - 1 = - 45 / 14 - 13 / 14 11 / 14 - 13 / 14 - 5 / 14 1 / 14 11 / 14 1 / 14 - 3 / 14

Resposta

a)

Como podemos observar essa é uma matriz simétrica, como deveria ser.

A - 1 = 3 / 5 1 / 5 1 / 5 2 / 5

b)

Como podemos observar essa é uma matriz simétrica, como deveria ser.

A - 1 = - 45 / 14 - 13 / 14 11 / 14 - 13 / 14 - 5 / 14 1 / 14 11 / 14 1 / 14 - 3 / 14

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