Enunciado

Mostrar que a matriz de mudança de base entre duas bases ortonormais de um espaço euclidiano de dimensão finita é uma matriz ortogonal.

Passo 1

Vamos começar essa questão lá do início, obtendo essa matriz ortogonal.

Esse processo de obtenção vai ajudar com que a gente entenda o que está ocorrendo e assim, consiga visualizar facilmente o porquê da matriz de mudança de base ser ortogonal.

Então, vamos começar escrevendo duas bases ortonormais. Elas são β = u 1 , u 2 , … , u n e β ' = w 1 , w 2 , … , w n . Podemos escrever um vetor v em função de cada base. Para isto, basta fazermos a combinação linear de cada base. Desta forma, temos:

v = x 1 u 1 + x 2 u 2 + … + x n u n

v = y 1 w 1 + y 2 w 2 + … y n w n

Ambas as equações acima estão corretas. Da primeira, temos que os coeficientes x 1 , x 2 , … , x n são as coordenadas do vetor v na base β . Já da segunda, temos que os coeficientes y 1 , y 2 , … , y n são as coordenadas do vetor v na base β ' .

A nossa intenção é escrever uma matriz A que transforme as coordenadas em relação a base β ' para as coordenadas de β (poderia ser o inverso, tanto faz a escolha).

Passo 2

E agora? O que temos que fazer?

Bom, como cada vetor w 1 , w 2 , … , w n pertencem ao mesmo espaço vetorial que os vetores da base β , podemos escrever cada vetor de β ' como combinação linear dos vetores de β . Com isto, temos:

w 1 = a 11 u 1 + a 21 u 2 + … + a n 1 u n w 2 = a 12 u 1 + a 22 u 2 + … + a n 2 u n ⋮ w n = a 1 n u 1 + a 2 n u 2 + … + a n n u n

Já começamos a identificar os coeficientes acima como algo do tipo a i j pois eles serão exatamente os elementos da nossa matriz de mudança de base.

Passo 3

Agora, temos que substituir cada vetor w pela sua combinação dos vetores da base β na equação v = y 1 w 1 + y 2 w 2 + … y n w n . Com isto, vamos obter:

v = y 1 w 1 + y 2 w 2 + … y n w n

v = y 1 a 11 u 1 + a 21 u 2 + … a n 1 u n + y 2 a 12 u 1 + a 22 u 2 + … + a n 2 u n + … y n a 1 n u 1 + a 2 n u 2 + … + a n n u n

v = a 11 y 1 + a 12 y 2 + … a 1 n y n u 1 + a 21 y 1 + a 22 y 2 + … a 2 n y n u n + … + a n 1 y 1 + a n 2 y 2 + … a n n y n u n

Mas espera aí. A relação acima não é o vetor v escrito como combinação linear dos vetores u 1 , u 2 , … , u n ? Mas não foi a primeira equação que escrevemos lá no Passo 1? Relembrando:

v = x 1 u 1 + x 2 u 2 + … + x n u n

Então, podemos comparar tudo que multiplica u 1 em cada uma das equações, tudo que multiplica u 2 e assim por diante. Com isto, temos:

x 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + … + a 1 n y n x 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + … + a 2 n y n ⋮ x n = a n 1 y 1 + a n 2 y 2 + … + a n n y n

Escrevendo matricialmente, temos:

X = A Y

x 1 x 2 ⋮ x n = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n y 1 y 2 ⋮ y n

E essa matriz A é a nossa matriz de mudança de base. Percebam que a primeira coluna corresponde as coordenadas do vetor w 1 na base β . Já a segunda coluna são as coordenadas do vetor w 2 na base β , e assim por diante.

É esta relação que precisamos ter bem em mente. Cada coluna δ 1 ≤ δ ≤ n corresponde as coordenadas do vetor w δ na base β .

Passo 4

Agora que a gente obteve a matriz A de mudança de base e entendemos o significado dela, podemos partir para provar que, assumindo que β e β ' são bases ortonormais, a matriz A é uma matriz ortogonal.

Uma matriz ortogonal é aquela que a sua inversa é igual a transposta, isto é, A - 1 = A t .

O que precisamos utilizar agora é a relação de uma matriz com sua inversa. O produto entre elas é igual a matriz identidade. Logo,

A - 1 A = I

Como queremos provar que a matriz A é ortogonal, então vamos verificar se, A - 1 = A t , e portanto,

A t A = I

a 11 a 2 1 ⋯ a n 1 a 1 2 a 22 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1

Olhem bem atentamente a primeira linha da matriz A t . Ela é igual a primeira coluna de A (coordenadas de w 1 na base β ). Portanto, se a gente multiplica a primeira linha de A t pela primeira coluna de A , temos exatamente o resultado do produto interno de w 1 por w 1 .

E qual seria o resultado do produto da primeira linha de A t pela segunda coluna de A , que corresponde as coordenadas do vetor w 2 na base β ? Será o produto interno de w 1 com w 2 .

E o produto da linha n de A t , que corresponde as coordenadas do vetor w n pela primeira coluna de A ? Será o produto interno de w n por w 1 .

Bom, podemos continuar repetindo várias e várias vezes esta relação, mas acredito que a ideia do que ocorre já foi entendida. O resultado de A t A pode ser escrito em relação a produtos internos de vetores w por vetores w . Portanto,

w 1 , w 1 w 1 , w 2 ⋯ w 1 , w n w 2 , w 1 w 2 , w 2 ⋯ w 2 , w n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ w n , w 1 w n , w 2 ⋯ w n , w n = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1

Por definição, uma base é ortonormal se t i , t j = 0 , para todo i ≠ j e t i , t j = 1 , para todo i = j . Portanto, assumindo que as bases β e β ' são ortonormais, temos:

1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1

O que é uma verdade. Portanto, a consideração de que a matriz de mudança de base era ortogonal é verdade. Assim, concluímos a questão provando o que ela havia pedido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Construir uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja 1 3 ,- 2 3 ,- 2 3
Mostrar que se A e B são matrizes ortogonais, então A B também será ortogonal.
Mostrar, por meio da multiplicação de matrizes, que uma rotação de 30 ° seguida de uma rotação de 60 ° resulta em uma rotação de 90 ° .
Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações: 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3
Determinar a e b para que os seguintes operadores no R 3 sejam simétricos: T :R 3 → R 3 ,T x ,y ,z = 3 x - 2 y ,a x + y - 3 z ,b y + z T :R 3 → R 3 ,T x ,y ,z = x + 2 z ,a x + 4 y + b z ,2 x - 3 y + z