Enunciado

No espaço vetorial V = M N R consideremos o produto interno definido por A , B = t r A B t . Dada uma matriz M ∈ V , seja T M : V → V o operador linear definido por T M X = M X , ∀ X ∈ V . Mostre que T M é uma isometria se, e somente se, M é uma matriz ortogonal.

Passo 1

Vamos lá! Para conseguirmos resolver esta questão, precisamos saber qual a implicação de uma transformação ser uma isometria como também saber as propriedades do traço de uma matriz.

Mas à medida que formos precisando de algo, vamos discutindo e assim aprendendo bem essa questão!

Então, precisamos provar que a transformação T M é uma isometria. Isto só é verdade se ela conserva a normas dos vetores. Matematicamente, podemos escrever a seguinte relação:

T M A , T M B = A , B

De uma certa forma, esta é a única informação que utilizamos sobre isometria. Agora temos que partir para as operações com traços!

Passo 2

Vamos trabalhar com os traços de uma matriz. Mas, antes disto, precisamos em si chegar a algum traço, não é?

Para chegarmos a estes traços vamos ter que aplicar a definição do nosso produto interno. Com isto, teremos:

T M A , T M B = A , B

t r T M A T M B t = t r A B t

t r M A M B t = t r A B t

t r M A M t B t = t r A B t

Massa! Chegamos a alguma relação envolvendo traços! Agora, vamos aplicar uma propriedade de traço que nos diz o seguinte:

t r X Y = t r Y X

Então, tanto faz a ordem do produto das matrizes. Com isto, podemos fazer o seguinte:

t r M M t A B t = t r A B t

Passo 3

Agora vamos ter que analisar o que está ocorrendo com as nossas matrizes.

Mas, muita calma galera! Muito cuidado nesta hora!!! Não podemos pegar o que está dentro de cada traço e comparar diretamente! No caso em que fizemos t r X Y = t r Y X não podemos dizer que X Y = Y X ! Isto nem sempre é verdade!

Vejam só o seguinte, a única forma de multiplicarmos uma matriz X por A B t e mantermos o traço, isto é,

t r X A B t = t r A B t

É que esta matriz X seja igual a matriz identidade I . Qualquer outra matriz diferente da identidade nos ocasionará em um diferente traço.

Sendo assim, comparando a relação t r M M t A B t = t r A B t , para que a relação acima seja verdade, temos que ter:

M M t = I

E a relação acima só acontece se a transposta da matriz M for igual a sua inversa, M t = M - 1 . E se isto ocorre, significa dizer que M é uma matriz ortogonal.

Portanto, T M só será uma isometria se M for ortogonal.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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