Enunciado

Mostre que se Ak = 0 → , para algum k inteiro positivo, então A é singular.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de determinantes.

Para mostrar o que se pede no enunciado devemos mostrar para matrizes de algumas ordens, e assim, por indução infinita, validar para matrizes de ordem superior. Iniciando com uma matriz de ordem 1 teremos:

A = a

Se k = 1 temos que:

A k = A = a   e   s e   A k = 0 → ,   t e m o s   q u e   a = 0

Logo, a matriz A é singular.

Se k = 2 teremos:

A k = A 2 = a ∙ a = a 2 ,   e   s e   A k = 0 →   t e m o s   q u e   a = 0

Logo, a matriz A é singular.

Por indução infinita, temos que para matrizes de ordem 1, A é singular para k inteiros positivos.

Passo 2

Seguindo o mesmo padrão de procedimento, vamos usar matrizes de ordem 2:

A = a b c d

Se k = 1, temos que:

A k = A = a b c d   e   s e   A k = 0 → ,   t e m o s   q u e   a = b = c = d = 0

Logo, a matriz A é singular.

Se k = 2 teremos:

A k = A 2 = a b c d ∙ a b c d = a 2 + b c a b + b d a c + c d b c + d 2 ,   e   s e   A k = 0 →   t e m o s   q u e

a 2 + b c = 0 ; b a + d = 0 ; c a + d = 0 ; b c + d 2 = 0

Se b = 0, temos c = 0, pois:

b a + d = c a + d = > b = c

E a matriz A2 fica reescrita:

A 2 = a 2 0 0 d 2

Para que tenhamos A k = 0 → , devemos ter a = 0 e d = 0. Logo, a matriz A é singular.

Por indução infinita, temos que para matrizes de ordem 2, A é singular para k inteiros positivos.

Passo 3

Como temos a validade para ordem 1, o princípio da indução infinita nos diz que haveria validade para ordem 2. Como demonstramos a validade para ordem 2, temos que o princípio indica a validade para ordem 3, e assim sucessivamente.

Resposta

Ver passo a passo.

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Mostre que se A^t = A^(- 1) , então det (A) = +- 1 .
Mostre que se A k = 0 → , para algum k inteiro positivo, então A é singular.
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