Enunciado

Mostre que se A k = 0 → , para algum k inteiro positivo, então A é singular.

Passo 1

Fala ae, blz?

Para resolvermos esse exercício precisamos saber o que a palavra singular quer dizer.

Dizer que A é singular é o mesmo que dizer que A é uma matriz quadrada cujo determinante vale zero.

det ⁡ A n x n = 0

Passo 2

Sabemos que I - A é invertível e I - A - 1 = I + A + A 2 + … + A k - 1 .

Então I - A   I + A + A 2 + … + A k - 1 = I

Abrindo o produto do lado esquerdo da equação, temos:

I - A   I + A + A 2 + … + A k - 1 = I + A + A 2 + … + A k - 1 - A - A 2 - … - A k - 1 - A k

I - A   I + A + A 2 + … + A k - 1 = I - A k

Do enunciado sabemos que:

A k = 0 → , para algum k , e det ⁡ A k = det ⁡ 0 → = 0

Resposta

A é singular pela demonstração.

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