Enunciado

Mostre que as colunas da matriz M de tamanho n × m + 1 na Equação ( 10 ) são linearmente independentes se n   >   m e pelo menos m + 1 dos números x 1 ,   x 2 ,   ⋯ ,   x n são distintos. [Sugestão: um polinômio não nulo de grau m tem, no máximo, m raízes distintas.]

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos considerar a seguinte matriz:

M = 1 1 ⋮ 1       x 1 x 2 ⋮ x n       x 1 2 x 2 2 ⋮ x n 2       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       x 1 m x 2 m ⋮ x n m

Considere que os vetores das colunas de M sejam:

α i = x 1 i - 1 x 2 i - 1 ⋮ x n i - 1

Com i = 1 ,   2 ,   ⋯ ,   m + 1 .

Vamos considerar que estes vetores também sejam linearmente independentes. Portanto, vamos assumir que:

∑ i = 1 m + 1 c i α i = 0

Considerando que o número de equações seja menor que o número de incógnitas:

n ≤ m

Teremos algo diferente de zero em c i no espaço da solução.

Portanto, α i ,     i = 1 ,   2 ,   ⋯ ,   m + 1 não pode ser linearmente independente.

Passo 2

Agora vamos considerar que:

n > m

Portanto, o sistema possuirá soluções triviais.

Fazendo com que os vetores da coluna α i ,     i = 1 ,   2 ,   ⋯ ,   m + 1 sejam linearmente independentes.

Se dois vetores x i ,     i = 1 ,   2 ,   ⋯ ,   n são iguais, então as duas linhas da matriz M devem ser idênticas, ou seja, a matriz deve ter uma linha zero e, portanto, a classificação da matriz M será n - 1 .

Portanto, se o r número de x i for o mesmo, a classificação da matriz M será n - r .

Como o sistema de equação pode ter soluções triviais, devemos ter o m + 1 número zero c i .

Que nos diz que a matriz M pode ter n - m + 1 zero linhas.

Portanto, r ≥ m + 1 .

Que nos diz que a matriz M deve ter pelo menos m + 1 , x i distintos.

A nossa conclusão final é de que todas as colunas da matriz são linearmente independentes apenas quando se tem pelo menos m + 1 , x i distintos com n > m .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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