Enunciado

Prove: se A tem vetores coluna linearmente independentes e se A x = b é consistente, então a solução de mínimos quadrados de A x = b e a solução exata de A x = b coincidem.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que A x - b pode ser visto como uma medida de erro resultante por considerar x como uma solução aproximada do sistema linear A x = b .

Como o sistema é consistente, a solução é exata, portanto, o erro é zero, logo:

A x - b = 0

A x = b

Inversamente, temos que:

A T A x = A T b é o sistema normal associado e todas as soluções deste sistema são a solução dos mínimos quadrados, portanto:

A T A x = A T b

A T A x - A T b = 0

A T A x - b = 0

Como A tem espaço de coluna linearmente independente, temos que:

A T = 0

Consequentemente, temos que:

A x - b = 0

A x = b

Ficando assim provado que a solução de mínimos quadrados de A x = b e a solução exata de A x = b é a mesma.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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6. Em cada parte, encontre o vetor erro e → = b → - A x → que resulta da solução de mínimos quadrados x → e verifique que é ortogonal ao espaço coluna de A .(a) A e b → como no Exercício 4(a)(b) A e b
5. Em cada parte, encontre o vetor erro e → = b → - A x → que resulta da solução de mínimos quadrados x → e verifique que é ortogonal ao espaço coluna de A .(a) A e b → como no Exercício 3(a)(b) A e b
7. Em cada parte, encontre todas as soluções de mínimos quadrados de A x = b → e confirme que todas as soluções têm o mesmo vetor erro. Calcule o erro de mínimos quadrados.(a) A = 2 1 4 2 - 2 1 ; b →
7. Em cada parte, encontre todas as soluções de mínimos quadrados de A x = b → e confirme que todas as soluções têm o mesmo vetor erro. Calcule o erro de mínimos quadrados.(a) A = 2 1 4 2 - 2 1 ; b →
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