Enunciado

Sejam H , F 1 e F 2 como na Definição 22 - 9 . Prove que:

  1. Os focos e o centro de H não pertencem a H ;
  2. Nenhum ponto da reta focal de H , exterior ao segmento focal, pertence a H ;
  3. Existem precisamente dois pontos A 1 e A 2 da reta focal de H que pertencem a H ;
  4. Se P Q é uma corda qualquer de H tal que d P , F 1 - d P , F 2 = 2 a e d Q , F 1 - d Q , F 2 = 2 a , então d P , Q ≥ 2 a ;
  5. A única corda nas condições do item (d) que tem comprimento 2 a é A 1 A 2 .

Passo 1

Bom, uma questão como esta é complicada pois não temos nenhum sistema de coordenadas para nos ajudar a provar cada um dos pontos.

Por causa disto, temos que utilizar a definição e algumas relações geométricas para provar cada um dos itens.

Começando pela letra a), vamos verificar que os focos e o centro não pertencem a hipérbole. Para isto, vamos utilizar aqui a definição de uma hipérbole. Ela é dada por:

d X , F 1 - d X , F 2 = 2 a

Sendo d F 1 , F 2 = 2 c > 2 a . Agora que já sabemos esta definição, vamos supor que X = F 1 (vale para qualquer um dos focos, mas se a gente prova pra um, já satisfaz o nosso problema).

Portanto, se a gente substitui esta relação na definição da hipérbole, temos:

d F 1 , F 1 - d F 1 , F 2 = 2 a

0 - 2 c = 2 a

2 c = 2 a

E assim obtemos uma equação que é claramente uma mentira, pois, por definição, 2 c > 2 a .

Agora, vamos supor que o ponto é o centro da hipérbole. Portanto, X = C . Sabemos que a distância do centro para cada um dos focos é c . Ao fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente, temos:

d C , F 1 - d C , F 2 = 2 a

- c - c = 2 a

2 c = 2 a

Outra mentira. Portanto, nem os focos nem o centro pertencem a hipérbole!

Passo 2

Se um ponto pertence ao segmento focal, ele satisfaz a seguinte relação:

X = F 1 + λ F 1 F 2 →

É exatamente a equação de uma reta. Só que, para este caso, 0 < λ < 1 , pois X pertence ao segmento F 1 F 2 .

Vamos fazer o mesmo que fizemos no passo anterior para resolver a letra a). Vamos substituir o ponto X na definição da hipérbole. Portanto,

d X , F 1 - d X , F 2 = 2 a

| | λ F 1 F 2 → | | - | | ( 1 - λ ) F 1 F 2 → | | = 2 a

λ ⋅ | | F 1 F 2 → | | - 1 - λ ⋅ | | F 1 F 2 → | | = 2 a

λ ⋅ 2 c - 1 - λ ⋅ 2 c = 2 a

Se queremos avaliar pontos fora do segmento focal, devemos fazer λ > 1 ou λ < 0 . Começando por λ > 1 , temos:

λ ⋅ 2 c + 1 - λ ⋅ 2 c = 2 a

2 c = 2 a

2 c = 2 a

E assim chegamos a uma mentira! Portanto, não existe valor de λ > 1 que satisfaça a relação acima.

Agora, vamos verificar para λ < 0 . Portanto,

- λ ⋅ 2 c - 1 - λ ⋅ 2 c = 2 a

- 2 c = 2 a

2 c = 2 a

E novamente, chegamos a uma mentira. Portanto, não existe ponto exterior ao segmento focal que pertença a hipérbole!

Passo 3

Agora, para provar que existem dois pontos, os quais são os vértices, que pertencem ao segmento focal e também pertencem a hipérbole, vamos utilizar a mesma relação desenvolvida anteriormente. Ela é:

λ ⋅ 2 c - 1 - λ ⋅ 2 c = 2 a

A única diferença é no intervalo analisado de λ . Se o ponto pertence ao segmento focal, temos que 0 < λ < 1 . Fazendo esta consideração, vamos obter então a seguinte relação:

λ ⋅ 2 c - 1 - λ ⋅ 2 c = 2 a

2 c ⋅ 2 λ - 1 = 2 a

2 c ⋅ 2 λ - 1 = 2 a

2 λ - 1 = a c

E assim chegamos em uma relação que é verdade. Como c > a , o segundo membro é menor do que 1. Portanto, existe sim um valor de λ que satisfaça a relação acima. E na verdade, não é só um valor, são dois, pois:

2 λ - 1 = a c 2 λ - 1 = - a c

Logo, existem dois pontos da reta focal de H que pertencem a H ! E estes dois pontos são os vértices.

Passo 4

Devemos verificar agora se, dada uma corda P Q qualquer da hipérbole, ela satisfaz d P , Q ≥ 2 a .

Para isto, precisaremos checar uma propriedade triangular. Vamos formar dois triângulos: P Q F 1 e P Q F 2 . Aplicando a propriedade triangular, temos:

d P , Q ≥ d P , F 1 - d Q , F 1 d P , Q ≥ d Q , F 2 - d P , F 2

Somando ambas as equações, temos:

2 ⋅ d P , Q ≥ d P , F 1 - d Q , F 1 + d Q , F 2 - d P , F 2

2 ⋅ d P , Q ≥ d P , F 1 - d P , F 2 - d Q , F 2 - d Q , F 1

A definição da hipérbole nos diz que:

d P , F 1 - d P , F 2 = 2 a

Portanto, d P , F 1 - d P , F 2 = 2 a ou d P , F 1 - d P , F 2 = - 2 a . O mesmo irá acontecer com o ponto Q .

Mas qual a importância disto. Checamos estas relações para ver o caso mais restritivo, isto é, qual o menor valor que d P , Q pode assumir.

Esta relação será obtida se fizermos d P , F 1 - d P , F 2 = 2 a e d Q , F 2 - d P , F 1 = - 2 a . Portanto, temos:

2 ⋅ d P , Q ≥ 2 a - - 2 a

2 ⋅ d P , Q ≥ 4 a

d P , Q ≥ 2 a

E assim, provamos a relação da questão.

Passo 5

Para finalizarmos a questão, temos que verificar o que temos de fazer na propriedade triangular para que ela não seja uma inequação, mas sim uma equação.

Isto é, queremos verificar o que deve ocorrer com os pontos P e Q para que a seguinte relação aconteça:

d P , Q = d P , F 1 - d Q , F 1 d P , Q = d P , F 2 - d Q , F 2

Bom, isto só ocorrerá se os pontos P , Q , F 1 e F 2 forem colineares. E assim, percebemos que os únicos pontos P e Q pertencentes a hipérbole e colineares com a reta focal são os vértices A 1 e A 2 . Portanto, só existe uma única corda que satisfaça a relação dada!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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