Enunciado

Mostre que a distância de um ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) a um plano π : a x + b y + c z + d = 0 é

d i s t P 0 , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Passo 1

Eaew, firme e forte? No ânimo para mais uma questãozinha?

Vamos lembrar aqui que para calcular a distância entre um ponto e um plano, temos que:

Sejam P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) um ponto qualquer e π : a x + b y + c z + d = 0 um plano. A distância de P 0 a π é dada por

d i s t P 0 , π = p r o j N   P 1 P 0 → = P 1 P 0 → ⋅ N N

Em que N = ( a , b , c ) e P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) é um ponto de π (isto é, um ponto que satisfaz a equação de π ).

Vamos tentar utilizar tudo isso para resolver a questão! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é identificar que temos um vetor normal N = ( a , b , c ) e sua norma é tal que:

N = a 2 + b 2 + c 2

Beleza, até aqui tudo bem! Agora, no entanto, precisamos de um ponto que pertença ao plano! Saca só como podemos achar ele!

Passo 3

Se colocarmos y = z = 0 , temos que

a x = - d → x = - d a

Portanto, um ponto que pertence ao plano é tal que:

P 1 = ( - d a , 0,0 )

Agora vamos escrever o vetor P 1 P 0 → !!

Passo 4

Temos que:

P 1 P 0 → = x 0 - x 1 , y 0 - y 1 , z 0 - z 1 = ( x 0 + d a , y 0 , z 0 )

De forma, que:

P 1 P 0 → ⋅ N = x 0 + d a a + y 0 b + z 0 c = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d

Ou seja, temos que:

d i s t P 0 , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Como queríamos demonstrar! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

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c) Escreva equações paramétricas para a reta r interseção dos planos π 1 e π 2 .
Considere os vetores V = i → + 3j → + 2k → , W = 2 i → -j → +k → e U = i → - 2 j → . Seja π um plano paralelo aos vetores W e U e r uma reta perpendicular ao plano π . Ache a projeção ortogonal do vet
Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e sabendo que o lado BC está contido na reta r: (x, y, z) = t(0, 1, -1).
Ache as equações dos planos que são perpendiculares ao vetor (2, 2, 2) e que distam 3 do ponto (1, 1, 1).
f) Qual o ponto P de π 1 que está mais próximo da origem?