Enunciado

Mostre que uma elipse fica determinada pelo seu retângulo fundamental, mas não por sua coroa fundamental. Em outras palavras: cada retângulo é retângulo fundamental de uma só elipse, mas várias elipses podem ter a mesma coroa circular como coroa fundamental.

Passo 1

Vejamos a seguinte equação:

x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1

Ela é a equação reduzida de uma elipse centrada na origem.

Fica o questionamento: qual o maior denominador? Será p 2 ou q 2 ? A resposta desta pergunta nos dirá se a elipse tem focos no eixo O x ou O y .

Entretanto, independentemente desta resposta, uma coisa temos certeza: o nosso retângulo fundamental! Ele sempre será o conjunto de pontos x , y ∈ R 2 tais que - p < x < p e - q < y < q . Pode-se perceber a unicidade deste retângulo.

E em relação a coroa fundamental? Se assumirmos que p > q , então, será o conjunto de pontos x , y ∈ R 2 tais que q 2 < x 2 + y 2 < p 2 .

E se for o inverso, isto é, q > p ? Então, teremos a coroa p 2 < x 2 + y 2 < q 2 .

Vocês percebem que nós só fizemos trocar a ordem dos termos? Pode acontecer de nós simplesmente invertermos os valores dos denominadores. Por exemplo, vejam essas duas elipses:

x 2 4 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 4 = 1

A primeira tem focos do eixo O x e coroa fundamental 1 < x 2 + y 2 < 4 . Já a segunda tem foco em O y e coroa fundamental 1 < x 2 + y 2 < 4 . Ambas são elipses distintas, mas com mesma coroa fundamental.

Portando, assim verificamos que o retângulo fundamental é único, enquanto a coroa fundamental pode ser partilhada por mais de uma elipse!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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