Enunciado

Prove que o produto das distâncias de um ponto da hipérbole às assíntotas é a b c 2 .

Passo 1

Vamos lá! Estamos trabalhando aqui com uma hipérbole. Precisamos provar uma relação entre distâncias.

Para facilitarmos a nossa vida, vamos assumir que a hipérbole está centrada na origem e com focos no eixo O x (isto não impacta na nossa análise em problema nenhum).

Portanto, a nossa hipérbole possui a seguinte equação:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Um ponto X = ( x 0 , y 0 ) ∈ h i p é r b o l e se e somente se ele satisfaz a equação desta mesma hipérbole. Portanto,

x 0 2 a 2 - y 0 2 b 2 = 1

Guardem esta relação na mente de vocês pois ela aparecerá no futuro próximo!!!

Bom, agora, só nos falta obter a equação das assíntotas da hipérbole. Por definição, elas são dadas por:

y = ± b a x

Passo 2

Pronto, nosso trabalho agora é calcular a distância do nosso ponto X até cada uma das retas. Começaremos então pela reta y = b a x .

Como estamos trabalhando no plano, não precisamos utilizar aquelas relações desenvolvidas para o R 3 , utilizando notações de vetores. A dica é pensarmos na equação da reta como a equação do plano na sua forma geral e fazer distância de ponto a plano. Sai tudo muito mais fácil.

Neste caso, seria então o seguinte plano:

π 1 : b a x - y = 0

Portanto, a distância do ponto à reta será:

d X , r e t a 1 = b a x 0 - y 0 b a 2 + 1 2 = b a x 0 - y 0 b 2 a 2 + 1 = b a x 0 - y 0 b 2 + a 2 a 2

Como c 2 = a 2 + b 2 para uma hipérbole, temos:

d X , r e t a 1 = b a x 0 - y 0 c 2 a 2

Agora, precisamos repetir o mesmo procedimento para a reta 2 y = - b a x . A única mudança será no sinal das incógnitas. Temos então a seguinte equação do plano relativo a esta reta:

π 1 : b a x + y = 0

Portanto, se repetirmos o mesmo procedimento que fizemos para calcular a distância, vamos obter:

d X , r e t a 2 = b a x 0 + y 0 b a 2 + 1 2 = b a x 0 + y 0 b 2 a 2 + 1 = b a x 0 + y 0 b 2 + a 2 a 2

Como c 2 = a 2 + b 2 para uma hipérbole, temos:

d X , r e t a 2 = b a x 0 + y 0 c 2 a 2

Passo 3

Agora só nos resta calcularmos o produto entre ambas as distâncias. Portanto,

d X , r e t a 1 ⋅ d X , r e t a 2

b a x 0 - y 0 c 2 a 2 ⋅ b a x 0 + y 0 c 2 a 2 = b a x 0 - y 0 ⋅ b a x 0 + y 0 c 2 a 2

b 2 a 2 x 0 2 - y 0 2 c 2 a 2

Colocando em evidência b 2 no numerador, teremos:

b 2 ⋅ x 0 2 a 2 - y 0 2 b 2 c 2 a 2

Lembram da relação que eu disse que utilizaríamos no futuro próximo? Ela era:

x 0 2 a 2 - y 0 2 b 2 = 1

Que é exatamente o que aparece no nosso numerador! Portanto,

b 2 ⋅ 1 c 2 a 2 = b 2 c 2 a 2 = a 2 b 2 c 2 = a b c 2

E assim provamos a relação!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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