Enunciado

Mostre que se { v 1 ,   v 2 } for um conjunto linearmente independente e se v 3 não pertencer a g e r v 1 ,   v 2 , então { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é linearmente independente.

Passo 1

Vamos lá! Se { v 1 ,   v 2 } é linearmente independente nós não podemos escrever v 2 como função de v 1 e vice versa, assim só nos resta a solução trivial:

k 1 v 1 + k 2 v 2 = 0

O que nos indica que k 1 , k 2 = ( 0 ,   0 ) , sendo v 1 e v 2 não nulos.

Passo 2

Agora vamos fazer um conjunto R = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } , que é linearmente dependente que como sabemos não só aceita a solução trivial, temos:

k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0

Se nós fizermos k 3 ≠ 0 , podemos reescrever nosso conjunto R como:

v 3 = k 1 v 1 k 3 + k 2 v 2 k 3

Como foi dito no enunciado temos que   v 3 ∉ g e r v 1 ,   v 2 .

Isso quer dizer que a única resposta possível que nós encontramos, que faria o conjunto R ser linearmente dependente não é válida, isso quer dizer que R é Linearmente Independente.

Até a próxima!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dados os vetores u e v , prove que as afirmações seguintes são equivalentes: d) Se u = α , β e v = ( α ' , β ' ) então α β ' - α ' β ≠ 0 .
Prove que a soma dos vetores com origem no centro de um polígono regular e extremidade nos vértices desse polígono é igual a zero.
Dados os vetores u e v , prove que as afirmações seguintes são equivalentes: c) Nenhum dos vetores u e v é múltiplo do outro.
Dados os vetores u e v , prove que as afirmações seguintes são equivalentes: e) Todo vetor do plano é combinação linear de uev .
No trapézio ao lado, D C → = 1 3 A B → , A N → = 1 3 A D → , A M → = 3 4 A B → e C F → = α C N → . Determine α .