Enunciado

Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = ( a i j ) n x n é tal que A i = ∑ k ≠ i α k A k , para α 1 , … ,   α k escalares, então det(A) = 0.

Passo 1

A questão nos deu que:

A i = ∑ k ≠ i α k A k

Ou seja, a linha i é a soma da linha k, k vezes, multiplicada por algum escalar. Nesse sentido, a linha i é uma combinação linear dos múltiplos da linha k.

Passo 2

Sabemos que é possível modificar as linhas de uma matriz por operações elementares, de forma a obter essa mesma matriz, mas de forma escalonada. Assim, vamos supor que a matriz A é tal que:

A =   A i A k A l

Como temos que A i = ∑ k ≠ i α k A k

Podemos reescrever a matriz como:

A =   ∑ k ≠ i α k A k A k A l

Realizando a seguinte operação elementar:

A i → A i - α 1 A k

Obteríamos:

A =   α 1 A k + … + α k A k - α 1 A k A k A l =   α 2 A k + … + α k A k A k A l

Em seguida, realizando a seguinte operação elementar:

A i → A i - α 2 A k

A =   α 2 A k + … + α k A k - α 2 A k A k A l = α 3 A k + … + α k A k A k A l

Fazendo essa mesma operação para todos os múltiplos α 1 , … ,   α k , chegaríamos em

A i → A i - α k A k

A =   α k A k - α k A k A k A l = 0 A k A l

Passo 3

Como teríamos toda uma linha composta por elementos iguais a zero, isso implicaria que

det(A) = 0

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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