Enunciado

Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam das retas r : x + y - 1 = z = 0 e s : x + z - 1 = y = 0 é a reunião de dois planos transversais, e obtenha equações desses planos.

Passo 1

Vamos começar lembrando como se calcula a distância entre ponto e reta.

Se uma reta tem vetor diretor r → e passa por um ponto A , então a distância dessa reta até o ponto P é:

d P , r = A P → × r → r →

Ok, então vamos procurar os vetores diretores de cada uma das nossas três retas, e um ponto contido em cada uma delas.

A melhor forma de fazer isso é escrevendo as equações vetoriais. A reta r dá o seguinte sistema:

x + y - 1 = z = 0

x + y - 1 = 0 z = 0         ⇒           x = α y = 1 - α z = 0

Ou seja:

r : R = 0,1 , 0 + α 1 , - 1,0

E fazendo o mesmo para a reta s , chegamos nesse sistema:

x + z - 1 = y = 0

x + z - 1 = 0 y = 0         ⇒           x = β y = 0 z = 1 - β

s : S = 0,0 , 1 + β 1,0 , - 1

Beleza, agora vamos pensar nas fórmulas para a distância entre cada uma dessas retas e um ponto P qualquer.

Passo 2

Lembrando que a fórmula é essa aqui:

d P , r = R 0 P → × r → r →

No caso da reta r , temos:

r → = 1 , - 1,0

R 0 P → = x , y , z - 0,1 , 0 = x , y - 1 , z

Então:

A P → × r → = x ^ y ^ z ^ x y - 1 z 1 - 1 0

R 0 P → × r → = z y ^ - x z ^ - y - 1 z ^ + z x ^

R 0 P → × r → = z ,     z ,     - x - y + 1

R 0 P → × r → = z 2 + z 2 + 1 - x - y 2

E a norma do vetor r → é:

r → = 1 2 + - 1 2 + 0 2 = 2

Passo 3

Fazendo o mesmo para a reta s :

s → = 1,0 , - 1

S 0 P → = x , y , z - 0,0 , 1 = x , y , z - 1

Então:

S 0 P → × s → = x ^ y ^ z ^ x y z - 1 1 0 - 1

S 0 P → × s → = - y x ^ + z - 1 y ^ - y z ^ + x y ^

S 0 P → × s → = - y ,     z + x - 1 ,     - y

Então a norma é:

S 0 P → × s → = - y 2 + z + x - 1 2 + - y 2

S 0 P → × s → = 2 y 2 + z + x - 1 2

E a norma do vetor s → é:

s → = 1 2 + 0 2 + - 1 2 = 2

Passo 4

Beleza, nosso objetivo é encontrar os pontos que atendem a essa condição aqui:

d P , r = d P , s

Substituindo com as fórmulas que encontramos:

R 0 P → × r → r → = S 0 P → × s → s →

2 z 2 + 1 - x - y 2 2 = 2 y 2 + z + x - 1 2 2

Elevando os dois lados ao quadrado e multiplicando por 2 :

2 z 2 + 1 - x - y 2 = 2 y 2 + z + x - 1 2

Vamos abrir um pouco esses parênteses:

2 z 2 + 1 - x 2 - 2 1 - x y + y 2 = 2 y 2 + z + x 2 - 2 z + x 1 + 1

2 z 2 + 1 - 2 x + x 2 - 2 y + 2 x y + y 2 = 2 y 2 + z 2 + 2 z x + x 2 - 2 x - 2 z + 1

Podemos subtrair alguns termos dos dois lados:

z 2 - 2 y + 2 x y = y 2 + 2 z x - 2 z

y 2 - z 2 + 2 z x - 2 x y + 2 y - 2 z = 0

Agora vamos tentar interpretar esse resultado.

Passo 5

O enunciado pediu para demonstrarmos que essa equação é uma união de planos. Isso quer dizer que estamos procurando uma equação desse tipo aqui:

a x + b y + c z + d e x + f y + g z + h = 0

Nesse caso a equação estaria descrevendo a união dos planos:

π 1 :   a x + b y + c z + d

π 2 : e x + f y + g z + h

Então vamos tentar deixar nossa equação nessa forma:

y 2 - z 2 + 2 z x - 2 x y + 2 y - 2 z = 0

Nessa equação, y e z não aparecem multiplicando um ao outro, então vamos tentar colocar os dois evidência. Começando por y :

y y - 2 x + 2 - z 2 + 2 z x - z = 0

Fazendo o mesmo para z :

y y - 2 x + 2 - z z - 2 x + 1 = 0

Então podemos reorganizar isso como:

z - y 2 x - y - z - 2 = 0

Ou seja, o lugar geométrico que estamos procurando é a união desses dois planos:

π 1 :   z - y = 0

π 2 : 2 x - y - z - 2 = 0

Resposta

O lugar geométrico é a união dos planos z - y = 0 e 2 x - y - z - 2 = 0 .

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Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 :3 x +6 y -3 z =6P 2 :4 x -12 y +8 z =5 P 3 :9 y =1 +3 x +6 z P 4 :z =x +2 y -2
Dadas as retas ⎧ x=5 λ-2⎧ r⎢ y= 3 λ- 2 ⎢ , ⎩ z=λ⎩ ⎧ x= 2 μ+4⎧ s⎢ y= μ+ 2 ⎢ ⎩z= μ⎩ o vetor v →=( 1 , b , c ) , determine b e c para que v → tenha a direção da perpendicular comum às retas dadas.
No ΔA B C , A =( 1,3 , - 1 ) , B =( - 2,0 , 1 ) e C =( 4,2 , 3 ) . Escreva equações da altura que passa por A . Qual é o comprimento dessa altura?
Calcule as coordenadas do ponto simétrico de A=( 3 , - 1,2 ) em relação à reta s {x + 4 2=y - 1 - 1= z 1 .
Dadas as retas x + 2 2=y - 3=z - 1 4 e x - 3 m=y - 1 4=z - 7 2 , determine m de modo que as retas se interceptem. Determine as coordenadas do ponto de interseção.