Enunciado

(a) Dado o triângulo A B C , sejam M , N e P pontos tais que 2 A M → = A B → , 2 B N → = 5 B C → e 2 C P → = C A → . Exprima A N → , B P → e C M → em função de C A → e C B → , e prove que existe um triângulo de lados paralelos a A N , B P e C M .

(b) Dado o triângulo A B C , sejam M , N e P tais que A M → = α A B → , B N → = β B C → e C P → = γ C A → , com α , β e γ em 0,1 . Prove que existe um triângulo de lados paralelos e congruentes a A N , B P e C M se, e somente se, α = β = γ .

Passo 1

Vamos seguir a dica do enunciado: começamos exprimindo A N → , B P → e C M → em função de C A → e C B → .

Para isso vamos fazer um esboço dos segmentos que aparecem no enunciado. Primeiro desenhamos A , B e C em qualquer lugar:

E depois colocamos os pontos M , N e P de acordo com as fórmulas do enunciado, que dizem quais segmentos são paralelos:

A M → = 1 2 A B →

B N → = 5 2 B C →

C P → = 1 2 C A →

Então:

Beleza, isso vai ajudar a escrever as expressões.

Passo 2

Olhando para o desenho, vamos procurar A N → em função de C A → e C B → .

O jeito mais fácil de escrever A N → seria:

A N → = A C → + C N →

Só que a gente não tem nenhum desses segmentos no enunciado. Precisamos reescrever. Podemos encontrar A C → invertendo o sinal de C A → :

A N → = - C A → + C N →

E podemos encontrar C N → com essa expressão que podemos extrair do desenho:

B N → = B C → + C N →

Mas o enunciado diz que B N → = ( 5 / 2 ) B C → :

5 2 B C → = B C → + C N →

C N → = 5 2 - 1 B C → = 3 2 B C →

Substituindo isso na expressão de A N → :

A N → = - C A → + 3 2 B C →

Mas o enunciado sugeriu escrevermos em função de C B → , então vamos inverter o sinal desse último também:

A N → = - C A → - 3 2 C B →

Ok, vamos em frente.

Passo 3

Agora vamos procurar B P → nesses mesmos termos.

Olhando de novo para o desenho:

B P → = B C → + C P →

Trocando o sinal do primeiro termo para obter C B → :

B P → = - C B → + C P →

E substituindo com C P → = 1 2 C A → :

B P → = - C B → + 1 2 C A →

Passo 4

A fazendo a mesma coisa para C M → :

Podemos entender isso como uma soma vetorial, usando a regra do paralelogramo:

C M → = 1 2 C A → + 1 2 C B →

Ou seja, ficamos com:

A N → = - C A → + 3 2 C B → B P → = 1 2 C A → - C B → C M → = 1 2 C A → + 1 2 C B →

O enunciado pediu pra mostrarmos que dá pra construir um triângulo com vetores paralelos a esses. (Não disse que precisam ser congruentes!)

Se existe alguma combinação linear desses vetores, de forma que:

a A N → + b B P → + c C M → = 0

Então dá pra construir um triângulo com lados paralelos a esses vetores. Com exceção, claro, do caso em que a = b = c = 0 .

Passo 5

Vamos chamar C A → = x e C B → = y :

A N → = - x + 3 2 y B P → = 1 2 x - y C M → = 1 2 x + 1 2 y

Substituindo isso na nossa equação:

a A N → + b B P → + c C M → = 0

a - x + 3 2 y + b 1 2 x - y + c 1 2 x + 1 2 y = 0

x - a + b 2 + c 2 + y 3 2 a - b + c 2 = 0

Multiplicando tudo por 2 :

x - 2 a + b + c + y 3 a - 2 b + c = 0

Como x e y são sempre diferentes de zero, a única solução é:

- 2 a + b + c = 0 3 a - 2 b + c = 0

Esse sistema tem infinitas soluções! Então já sabemos que é possível construir o triângulo. Mas de qualquer forma vamos procurar uma solução para ter o exemplo.

Escolhendo arbitrariamente a = 1 :

- 2 + b + c = 0 3 - 2 b + c = 0        

E subtraindo as equações:

- 5 + 3 b = 0

b = 5 / 3

E substituindo isso na primeira equação:

- 2 + 5 3 + c = 0

c = 2 - 5 3 = 1 3

Então a solução é:

A N → + 5 3 B P → + 1 3 C M → = 0

E isso dá um triângulo de lados paralelos a A N → , B P → e C M → .

Passo 6

(b) Agora vamos supor que as relações entre os vetores sejam:

A M → = α A B →

B N → = β B C →

C P → = γ C A →

Qual é a condição para que exista um triângulo de lados paralelos e congruentes a A N , B P e C M ?

Vamos refazer nossas expressões para A N , B P e C M em função de C A e C B :

A N → = A C → + C N → B P → = B C → + C P → C M → = C A → + A M →

A N → = - C A → + B N → - B C → B P → = - C B → + γ C A → C M → = C A → + α A B →           ⇒             A N → = - C A → + 1 - β C B → B P → = - C B → + γ C A → C M → = C A → + α A C → + C B →

Substituindo mais algumas relações:

A N → = - C A → + 1 - β C B → B P → = - C B → + γ C A → C M → = 1 - α C A → + α C B →

Dessa vez os lados do nosso triângulo tem que ser paralelos e congruentes a esses três vetores.

Então a condição é:

± A N → ± B P → ± C M → = 0

Passo 7

Substituindo com as expressões ali de cima:

A N → + B P → + C M → = 0

- C A → + 1 - β C B → + - C B → + γ C A → + 1 - α C A → + α C B → = 0

Abrindo os parênteses:

- C A → + C B → - β C B → + - C B → + γ C A → + C A → - α C A → + α C B → = 0

Então:

- β C B → + γ C A → - α C A → + α C B → = 0

γ - α C A → + α - β C B → = 0

γ - α = 0 α - β = 0         ⇒           γ = α β = α

Ou seja:

α = β = γ

Que é exatamente o que queríamos provar!

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

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