Enunciado

Descreva o lugar geométrico dos pontos E 3 que eqüidistam dos planos π 1 : x + y - z = 0 , π 2 : x - y - z - 2 = 0 e π 3 : x + y + z = 1 .

Passo 1

Vamos começar lembrando da fórmula para a distância entre um ponto P e um plano π :

d P , π = A P → ∙ n → n →

Onde A é um ponto qualquer que pertence ao plano π e n → é o vetor normal ao plano.

Vamos começar procurando esse vetor n → em cada um dos pontos do enunciado. Lembrando que se um plano tem equação geral nessa forma:

a x + b y + c z + d = 0

Então o vetor normal ao plano é:

n → = a , b , c

Então, para os nossos planos:

π 1 :   x + y - z = 0         ⇒           n → 1 = 1,1 , - 1

π 2 : x - y - z - 2 = 0         ⇒           n → 2 = 1 , - 1 , - 1

π 3 : x + y + z = 1         ⇒           n → 3 = 1,1 , 1

E a norma desses três vetores são iguais! Olha só:

n → 1 = 1 2 + 1 2 + - 1 2 = 3

n → 2 = 1 2 + - 1 2 + - 1 2 = 3

n → 3 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Beleza, vamos em frente.

Passo 2

O próximo passo é encontrar os pontos A 1 , A 2 e A 3 que pertencem a cada um dos planos:

Qualquer ponto que pertença ao plano serve! Aqui o melhor a fazer é chutar um ponto que satisfaça a equação do plano, usando o máximo possível de zeros, para facilitar nossa conta:

π 1 :   x + y - z = 0         ⇒           A 1 = 0,0 , 0

π 2 : x - y - z - 2 = 0         ⇒           A 2 = 2,0 , 0

π 3 : x + y + z = 1         ⇒           A 3 = 1,0 , 0

Então como P = x , y , z é um ponto qualquer, os segmentos que aprecem na fórmula são:

A 1 P → = x , y , z - 0,0 , 0 = x , y , z

A 2 P → = x , y , z - 2,0 , 0 = x - 2 , y , z

A 3 P → = x , y , z - 1,0 , 0 = x - 1 , y , z

Olhando mais uma vez para a fórmula:

d P , π = A P → ∙ n → n →

Aparece um produto escalar entre o segmento e o vetor normal, então vamos fazer:

A 1 P → ∙ n → 1 = x , y , z ∙ 1,1 , - 1 = x + y - z

A 2 P → ∙ n → 2 = x - 2 , y , z ∙ 1 , - 1 , - 1 = x - 2 - y - z

A 3 P → ∙ n → 3 = x - 1 , y , z ∙ 1,1 , 1 = x - 1 + y + z

Então se as três distâncias são iguais, ficamos com essa equação aqui:

d P , π 1 = d P , π 2 = d P , π 3

A 1 P → ∙ n → 1 n → 1 = A 2 P → ∙ n → 2 n → 2 = A 3 P → ∙ n → 3 n → 3

Substituindo tudo:

x + y - z 3 = x - 2 - y - z 3 = x - 1 + y + z 3

Multiplicando tudo por 3 :

x + y - z = x - 2 - y - z = x - 1 + y + z

Beleza, agora temos que resolver isso.

Passo 3

O maior problema aqui é o módulo:

x + y - z = x - 2 - y - z = x - 1 + y + z

Lembrando que a definição de módulo:

x = x ,       x ≥ 0 - x ,     x < 0

Então a gente tem que considerar todas as possibilidades aqui.

Passo 4

Começamos com o caso em que nenhuma equação fica com sinal negativo:

x + y - z = x - 2 - y - z = x - 1 + y + z

Pegando a primeira e a terceira equações:

x + y - z = x - 1 + y + z

Subtraindo x e y dos dois lados;

- z = - 1 + z

z = 1 2

Agora pegando a primeira e a segunda:

x + y - z = x - 2 - y - z

Substituindo z = 1 / 2 e subtraindo x dos dois lados:

y - 1 2 = - 2 - y - 1 2

2 y = - 1 2 + 1 2 - 2

y = - 1

E o x fica livre! Isso quer dizer que nossa solução é:

x = λ y = - 1 z = 1 / 2

Isso equivale a uma reta, que podemos escrever como:

X = 0 , - 1 , 1 2 + λ 1,0 , 0

Passo 5

A outra possibilidade é que só a segunda equação fica com sinal negativo.

x + y - z = - x - 2 - y - z = x - 1 + y + z

Vamos fazer quase exatamente a mesma coisa que antes.

Pegando a segunda e a terceira equações:

- x - 2 - y - z = x - 1 + y + z

- x + 2 + y + z = x - 1 + y + z

Subtraindo y e z dos dois lados:

- x + 2 = x - 1

2 x = 3

x = 3 2

E agora pegando a primeira e a terceira:

x + y - z = x - 1 + y + z

Subtraindo x e y dos dois lados:

- z = - 1 + z

z = 1 / 2

E a variável y fica livre! Então o nosso resultado é:

x = 3 / 2 y = λ z = 1 / 2

Isso equivale a uma reta, que podemos escrever como:

X = 3 2 ,   0 , 1 2 + λ 0,1 , 0

Passo 6

A terceira possibilidade é que só a terceira equação tenha sinal negativo:

x + y - z = x - 2 - y - z = - x - 1 + y + z

Invertendo o sinal de todas, ficamos com:

- x + y - z = - x - 2 - y - z = x - 1 + y + z

Pegando a primeira e a segunda:

- x + y - z = - x - 2 - y - z

x + y - z = x - 2 - y - z

Subtraindo x e somando z dos dois lados:

y = - 2 - y

2 y = - 2

y = - 1

Agora pegando a primeira e a terceira:

- x + y - z = x - 1 + y + z

- x - y + z = x - 1 + y + z

- 2 x - 2 y = - 1

Substituindo y = - 1 :

- 2 x + 2 = - 1

x = 3 / 2

E a variável z fica livre. Então:

x = 3 / 2 y = - 1 z = λ

Isso equivale a uma reta, que podemos escrever como:

X = 3 2 , - 1,0 + λ 0,0 , 1

Passo 7

E a última possibilidade é que só a primeira equação fique com sinal negativo:

- x + y - z = x - 2 - y - z = x - 1 + y + z

Pegando a primeira e a terceira equações:

- x - y + z = x - 1 + y + z

- x - y = x - 1 + y

- 2 x - 2 y = - 1

x + y = 1 2

E agora pegando a primeira e a segunda:

- x + y - z = x - 2 - y - z

- x - y + z = x - 2 - y - z

- 2 x + 2 z = - 2

z = x - 1

Agora vamos supôr que x = λ . Nesse caso teríamos:

x = λ y = 1 2 - λ z = λ - 1

Isso equivale a uma reta, que podemos escrever como:

X = 0   , 1 2 ,   - 1 + λ 1 , - 1,1

Ou seja, a nossa solução para o problema é a união dessas quatro retas que nós achamos!

Resposta

A solução é a união das retas X = 0 , - 1 , 1 2 + λ 1,0 , 0 , X = 3 2 ,   0 , 1 2 + λ 0,1 , 0 , X = 3 2 , - 1,0 + λ 0,0 , 1 e X = 0   , 1 2 ,   - 1 + λ 1 , - 1,1 .

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a) Obtenha equações gerais dos dois planos bissetores dos diedros determinados pelos planos π 1 : x - 2 y + 2 z - 1 = 0 e π 2 : 4 x + 3 y = 0 .b) Confira o resultado obtido no item (a), mostrando que