Enunciado

Mostre que a matriz identidade I n   é a única matriz tal que A I n =   I n A = A para qualquer A, nxn.

Passo 1

Primeiramente, sabemos que a matriz identidade é uma matriz quadrada, nxn, tal que todos os números da diagonal principal são iguais a 1.

Realizando a multiplicação de uma matriz A quadrada por outra matriz quadrada com elementos desconhecidos, temos que:

A J =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∙ j 11 j 12 j 21 j 22 ⋯ ⋯ j 1 n j 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ j n 1 j n 2 ⋯ j n n

A J = a 11 j 11 + … + a 1 n j n 1 a 11 j 12 + … + a 1 n j n 2 a 21 j 11 + … + a 2 n j n 1 a 21 j 12 + … + a 2 n j n 2 ⋯ ⋯ a 11 j 1 n + … + a 1 n j n n a 21 j 1 n + … + a 2 n j n n   ⋮                                                                                 ⋯ ⋮ a n 1 j 11 + … + a n n j n 1 a n 1 j 12 + … + a n n j n 2 ⋯ a n 1 j 1 n + … + a n n j n n

Passo 2

Agora, realizando o produto JA, obtemos:

J A =   j 11 j 12 j 21 j 22 ⋯ ⋯ j 1 n j 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ j n 1 j n 2 ⋯ j n n ∙ a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

J A = a 11 j 11 + … + a n 1 j 1 n a 12 j 11 + … + a n 2 j 1 n a 11 j 21 + … + a n 1 j 2 n a 12 j 21 + … + a n 2 j 2 n ⋯ ⋯ a 1 n j 11 + … + a n n j 1 n a 1 n j 21 + … + a n n j 2 n   ⋮                                                                                 ⋯ ⋮ a 11 j n 1 + … + a n 1 j n n a 12 j n 1 + … + a n 2 j n n ⋯ a 1 n j n 1 + … + a 2 n j n n  

Passo 3

Igualando AJ e A:

a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n = a 11 j 11 + … + a 1 n j n 1 a 11 j 12 + … + a 1 n j n 2 a 21 j 11 + … + a 2 n j n 1 a 21 j 12 + … + a 2 n j n 2 ⋯ ⋯ a 11 j 1 n + … + a 1 n j n n a 21 j 1 n + … + a 2 n j n n   ⋮                                                                                 ⋯ ⋮ a n 1 j 11 + … + a n n j n 1 a n 1 j 12 + … + a n n j n 2 ⋯ a n 1 j 1 n + … + a n n j n n

Logo:

a 11 j 11 + … + a 1 n j n 1 =   a 11

Ou seja, j 11 = 1 e j n 1 = 0 , para n = 2, 3, 4, ..., n.

Da mesma forma:

a 11 j 12 + … + a 1 n j n 2 =   a 12

Ou seja, j 22 = 1 e j n 2 = 0 para todo n diferente de 2.

Assim, percebe-se que a igualdade valerá apenas para j n n = 1 e j n m = 0 , para m diferente de n.

Na igualdade de JA e A, obtemos o mesmo resultado:

a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n = a 11 j 11 + … + a n 1 j 1 n a 12 j 11 + … + a n 2 j 1 n a 11 j 21 + … + a n 1 j 2 n a 12 j 21 + … + a n 2 j 2 n ⋯ ⋯ a 1 n j 11 + … + a n n j 1 n a 1 n j 21 + … + a n n j 2 n   ⋮                                                                                 ⋯ ⋮ a 11 j n 1 + … + a n 1 j n n a 12 j n 1 + … + a n 2 j n n ⋯ a 1 n j n 1 + … + a 2 n j n n

a 11 j 11 + … + a n 1 j 1 n =   a 11

Ou seja, j 11 = 1 e j 1 n = 0 , para n = 2, 3, 4, ..., n. E equivalente para os demais elementos das matrizes.

Resposta

Assim, a matriz J deve, necessariamente, ser uma matriz identidade.

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