Enunciado

Mostre que A, nxn, é invertível se, e somente se, A t A é invertível.

Passo 1

Sabemos que se A é invertível, então A t também o é. Além disso, sabemos também que se uma matriz é invertível, o determinante deve ser diferente de 0.

det ⁡ ( A ) ≠ 0

Como a transposta também é invertível:

det ⁡ ( A t ) ≠ 0

Passo 2

Segundo as propriedades dos determinantes:

det ⁡ ( A ) ∙ det ⁡ ( B ) = det ⁡ ( A B )

Podemos, assim, escrever que:

det ⁡ ( A t ) ∙ det ⁡ ( A ) = det ⁡ ( A t A )

Passo 3

Para que o produto de dois elementos seja 0, um desses elementos deve ser 0, como sabemos que

det ⁡ ( A ) ≠ 0

E

det ⁡ ( A t ) ≠ 0

Então podemos concluir que

det ⁡ ( A t ) ∙ det ⁡ ( A ) = det ⁡ ( A t A ) ≠ 0

Como det ⁡ ( A t A ) ≠ 0 , sabemos que A t A é invertível.

Resposta

det ⁡ ( A t A ) ≠ 0 , logo, A t A é invertível.

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