Enunciado

Mostre que qualquer que seja o ponto P x ,   y sobre a elipse dada no exercício 1 c , a soma das distancias deste ponto aos dois focos é igual a 10 .

Passo 1

A equação da elipse do exercício 1 c é a seguinte:

x 2 25 + y 2 9 = 1

Vamos colocar em um gráfico a situação que temos:

Antes de tudo, repare que 10 = 2 a , e isso não é coincidência hehe. Vamos aos poucos; vamos definir a distância D 1 como a distância entre o foco F 1 e o ponto P . Analogamente, D 2 será a distância entre o foco F 2 e o ponto P . Vamos começar definindo essas distâncias e seguir desenvolvendo a expressão que tivermos.

Passo 2

Da fórmula de distância entre pontos, temos:

D 1 = x - - 4 2 + y 2

D 2 = x - 4 2 + y 2  

A questão diz no enunciado que:

D 1 + D 2 = 10 = 2 a

Substituindo as expressões para D 1 e D 2 :

x + 4 2 + y 2 + x - 4 2 + y 2 = 10

Passo 3

Vamos fazer algumas manipulações algébricas :). Passando uma das raízes para o outro lado e elevando tudo ao quadrado, ficamos com:

x + 4 2 + y 2 = 10 - x - 4 2 + y 2 2

Desenvolvendo os quadrados:

x 2 + 8 x + 16 + y 2 = 100 - 20 x - 4 2 + y 2 + x - 4 2 + y 2

x 2 + 8 x + 16 + y 2 = 100 - 20 x - 4 2 + y 2 + x 2 - 8 x + 16 + y 2

16 x = 100 - 20 x - 4 2 + y 2

Agora separando a raiz de um lado da equação e jogando os outros termos pro lado direito:

20 x - 4 2 + y 2 = 100 - 16 x

Passo 4

Elevando os dois lados ao quadrado:

400 x - 4 2 + y 2 = 10000 - 3200 x + 256 x 2

Expandindo o lado esquerdo:

400 x 2 - 3200 x + 6400 + 400 y 2 = 10000 - 3200 x + 256 x 2

Eliminando o termo linear de x e isolando as variáveis do lado esquerdo:

144 x 2 + 400 y 2 = 3600

Agora vamos dividir os dois lados por 3600 e deixar a matemática dar seu show.

x 2 25 + y 2 9 = 1

Chegamos exatamente na equação da elipse que iniciamos! Isso nos mostra que de fato a soma das distancias D 1 e D 2 é constante igual a 10 . Na seção seguinte do livro, será mostrado que isso sempre acontece em uma elipse e essa soma é sempre igual a 2 a .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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