Enunciado

Mostre que A e B são matrizes que comutam com a matriz M =   0 1 - 1 0 , então A B = B A

Passo 1

O produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, diante da condição apresentada, a questão pede para que mostremos que o produto entre essas duas matrizes possui essa propriedade.

Se A e B comutam com M, então:

A M = M A B M = M B

Vamos considerar A =   a b c d e B =   e f g h

Primeiro resolvendo para A, temos:

a b c d ∙ 0 1 - 1 0 =   0 1 - 1 0 ∙ a b c d

a ∙ 0 + b ∙ ( - 1 ) a ∙ 1 + b ∙ 0 c ∙ 0 + d ∙ ( - 1 ) c ∙ 1 + d ∙ 0 = 0 ∙ a + 1 ∙ c 0 ∙ b   + 1 ∙ d - 1 ∙ a + 0 ∙ c - 1 ∙ b + 0 ∙ d  

- b a - d c =   c d - a - b

Comparando os termos, nota-se que:

d = a c =   - b

Sendo assim, podemos escrever a matriz A de outra forma:

A =   a b - b a

Passo 2

Agora, resolvendo para a matriz B, tem-se:

e f g h ∙ 0 1 - 1 0 = 0 1 - 1 0 ∙ e f g h

e ∙ 0 + f ∙ ( - 1 ) e ∙ 1 + f ∙ 0 g ∙ 0 + h ∙ ( - 1 ) g ∙ 1 + h ∙ 0 = 0 ∙ e + 1 ∙ g 0 ∙ f   + 1 ∙ h - 1 ∙ e + 0 ∙ g - 1 ∙ f + 0 ∙ h

- f e - h g =   g h - e - f

Comparando os termos, verificamos:

h = e g = - f

Assim, a matriz B pode ser rescrita como:

e f - f e  

Passo 3

Agora que temos novos valores para A e B vamos verificar se a igualdade é verdadeira:

A B = B A

a b - b a ∙ e f - f e =   e f - f e ∙ a b - b a

a e - b f a f + b e - b e - a f - b f + a e = e a - f b e b + f a - f a - e b - f b + e a

A multiplicação é uma operação matemática em que a ordem que multiplicamos os números não altera o resultado (lê-se: propriedade comutativa). Comparando os termos à direita com os termos à esquerda, concluímos nossa demonstração, provando que A B = B A dado que essas matrizes comutam com M.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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