Enunciado

Mostre que se A e B são matrizes n   x   n , invertíveis, então A e B são equivalentes por linhas.

Passo 1

Fala aeeeee, tudo tranquilo?

Se A é uma matriz invertível, ela deve satisfazer:

A . A - 1 = I n

Como A é uma matriz n   x   n , A - 1 também será. Assim:

A a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n = 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

Passo 2

A resolução desse sistema são as matrizes ampliadas:

A I 1 , … , [ A | I n ]

Sendo I n ,   n = 1 , … ,   n ,   uma representação das colunas da matriz identidade

Resultando em:

A I 1 , … , A I n = A I 1   I 2 … I n

A I 1   I 2 … I n = I C 1   C 2 … C n ]

Sendo C n   , n = 1 , … ,   n , uma representação dos resultados desse sistema linear.

Passo 3

Portanto, a matriz A será equivalente por linhas a matriz identidade. Repetindo o mesmo processo para B teremos que A e B são equivalentes por linhas.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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2.1.2 Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:(f) 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 - 1 1 5 9 1 6
a)Mostre que a matriz A = a b c d é invertível se, e somente se, a d - b c ≠ 0 e neste caso a inversa é dada por A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a b)Mostre que se a d - b c ≠ 0 , então o sistema linear
Mostre que se A é uma matriz invertível, então A + B e I n + B A - 1 são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis. (Sugestão: multiplique A + B por A - 1 .)
Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se A + B e A forem invertíveis, então A + B - 1 = A - 1 I n + B A - 1 - 1 .