Enunciado

Mostre que se A e B são matrizes nxn, invertíveis, então A e B são equivalentes por linhas.

Passo 1

Primeiro, temos que saber das propriedades matriciais que o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, A ∙ A - 1 = A - 1 ∙ A = I n .

Assim, podemos escrever o produto A ∙ A - 1 como:

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ∙ w ⋯ x ⋮ ⋱ ⋮ y ⋯ z = 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

Passo 2

Sabemos que para encontrar a inversa de uma matriz A, um dos processos realizados é escrita de uma matriz aumentada com A e a matriz identidade, de forma:

A I n

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

E, por meio da realização de operações elementares, transforma-se a matriz A em I n e a matriz I n antiga torna-se a matriz A - 1 desejada. Esse processo implica que A e I n são equivalentes por linhas.

Passo 3

O mesmo raciocínio feito para A pode ser aplicado para uma matriz B invertível. Se B é invertível, então B é equivalente por linhas à matriz identidade.

Como A e B são equivalentes por linhas a uma mesma matriz, A e B são equivalentes por linhas entre si.

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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