Enunciado

Mostre que uma transformação ortogonal do plano no plano deixa invariante a distância entre dois pontos, isto é, u   e   v vetores quaisquer do plano,

T u - T v = | | u - v | |

(Sugestão: use o teorema 9.3.3 (d).)

Passo 1

Bom, vamos usar a sugestão dada, que afirma que uma transformação linear ortogonal preserva a norma.

Passo 2

Veja que:

T u - v = T u - T ( v )

Além disso:

| T u - v | = | T u - T v |

Mas a transformação presevar a norma, isto é:

T u - v = | | u - v | |

Passo 3

Agora é só igualar:

T u - T v = | | u - v | |

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dada uma matriz A cujas colunas são vetores ortonormais, prove que A é ortogonal.
Dê a transformação linear que descreve o movimento rígido que leva o segmento de extremos ( - 6,2 ) e ( - 1,2 ) no seguimento de extremos ( - 2,6 ) e ( 1,2 ) respectivamente.Mostre que esta transforma
Seja T x , y , z = 2 x + y , x + y + z , y - 3 z de R 3 em R 3 com produto interno canônico.Mostre que T é um operador auto-adjunto mas não ortogonal.Se v = ( 2 , - 1,5 ) e w = ( 3,0 , 1 ) , verifique
Dada a matriz A = a 0 0 0 b c 0 c b Mostre que os autovalores são: a ,b + ceb - c Ache uma base de autovetores
Seja o operador linear T :R 3 → R 3 cuja matriz em relação à base canônica é 1 4 2 4 - 5 - 4 2 - 4 1 Exiba uma base ortonormal de autovetores.