Enunciado

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Mostre que uma transformação ortogonal do plano no plano deixa invariante a distância entre dois pontos, isto é, u   e   v vetores quaisquer do plano,

T u - T v = | | u - v | |

(Sugestão: use o teorema 9.3.3 (d).)

Passo 1

Bom, vamos usar a sugestão dada, que afirma que uma transformação linear ortogonal preserva a norma.

Passo 2

Veja que:

T u - v = T u - T ( v )

Além disso:

| T u - v | = | T u - T v |

Mas a transformação presevar a norma, isto é:

T u - v = | | u - v | |

Passo 3

Agora é só igualar:

T u - T v = | | u - v | |

Resposta

Demonstração.

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