Enunciado

  1. Dê a transformação linear que descreve o movimento rígido que leva o segmento de extremos ( - 6,2 ) e ( - 1,2 ) no seguimento de extremos ( - 2,6 ) e ( 1,2 ) respectivamente.
  2. Mostre que esta transformação é uma rotação e encontre seu ângulo.

Passo 1

  1. Bom, seja T essa transformação. Vamos investigar. O que a gente sabe?
  2. T - 6,2 = ( - 2,6 )

    T - 1,2 = ( 1,2 )

    Para a agente achar a matriz de transformação, devemos encontrar T ( 1,0 ) e T ( 0,1 ) .

    Veja que:

    - 1 5 T - 6,2 + 1 5 T - 1,2 = T 6 5 , - 2 5 + T - 1 5 , 2 5 = T ( 1,0 )

    Disso, a gente tem que:

    T 1,0 = - 1 5 - 2,6 + 1 5 1,2 = 3 5 ,   - 4 5

    Além disso:

    - 1 10 T - 6,2 + 3 5 T - 1,2 = T ( 0,1 )

    Logo:

    T 0,1 = - 1 10 - 2,6 + 3 5 1,2 = 4 5 , 3 5

    Ai a matriz de transformação fica:

    3 5 4 5 - 4 5 3 5

    Passo 2

  3. Bom, uma maneira simples de proceder nessa questão é perceber que essa matriz é da forma:

cos ⁡ α - s e n   α s e n   α cos ⁡ α

Que descreve uma rotação de um ângulo α em torno da origem.

Veja que nesse caso:

cos ⁡ α = 3 5   e   s e n   α = - 4 5

Isto é:

t g   α = - 4 3 ⇒ α = - 53 , 13 °

Resposta

  1. 3 5 4 5 - 4 5 3 5 ;
  2. α = - 53,13 ° .
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Dada uma matriz A cujas colunas são vetores ortonormais, prove que A é ortogonal.
Ache os valores para x e y tais que x y - 1 0 seja uma matriz ortogonal.
Sejam α = { 1,1 , ( 2,0 ) } e β = { - 1,0 , ( 2,1 ) } . A partir das bases α e β construa bases ortonormais, usando o método de Gram-Schmidt. Se estas novas bases forem α ' e β ' respectivamente, most