Enunciado

Mostre que os valores singulares de A T A são os quadrados dos valores singulares de A .

Passo 1

Vamos lá! Temos que lembrar algumas coisinhas antes pra facilitar nossa vida.

A T ⋅ A T ⋅ A T ⋅ A = A T ⋅ A 2

Se A T ⋅ A possui um autovalor λ e possui um autovetor x , temos que:

s A terá um autovalor s λ e o mesmo autovetor x . Provamos isso na questão 25 dos exercícios da parte 5.1 .

Então se s = A , A 2 terá um autovalor λ 2

Passo 2

Agora vamos fazer o seguinte, se A T ⋅ A 2 = A T ⋅ A T ⋅ A T ⋅ A . Então o autovalor de A T ⋅ A 2 será o quadrado do autovalor de A T ⋅ A de modo que:

A T ⋅ A   g e r a   u m   a u t o v a l o r → λ

A T ⋅ A 2   g e r a   u m   a u t o v a l o r →   λ 2

Passo 3

Como A T ⋅ A 2 = A T ⋅ A T ⋅ A T ⋅ A , vamos fazer o seguinte.

A T ⋅ A = A '

A T ⋅ A T = A ' T

Seguindo a lógica do passo 2 temos que:

A ' g e r a   u m   a u t o v a l o r → λ

A ' T ⋅ A ' g e r a   u m   a u t o v a l o r → λ 2

Logo o autovalor gerado por A T ⋅ A é λ 2 .

Isso é tudo pessoal!

Abraços! Até a próxima!

\o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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