Enunciado

12. Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados.

(a) u = ( - 2,1 ) e v = ( 1,0 ) , usando o produto interno do Exemplo 1 da Seção 6.1.

(b) U = - 1 2 6 1 e V = 1 0 3 3 , usando o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1.

(c) p = - 1 + 2 x + x 2 e q = 2 - 4 x 2 , usando o produto interno dado no Exemplo 7 da Seção 6.1.

Passo 1

Lembrando que a desigualdade de Cauchy-Schwarz é:

u , v ≤ u v

(a) o produto interno:

u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2

Com u = ( - 2,1 ) e v = ( 1,0 ) :

u , v = 3 - 2 1 + 2 1 ( 0 )  

u , v = - 6  

Calculando a norma de u :

u = - 2 2 + 1 2

u = 5

Calculando a norma de v :

v = 1 2 + 0 2

v = 1

Verificando a desigualdade:

- 6 ≤ 5 1

6 ≤ 5

Como 6 é maior que 5 , então não vale a desigualdade.

Passo 2

(b) o produto interno:

U , V = t r U T V

U , V = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 4 v 4

U = - 1 2 6 1 e V = 1 0 3 3 :

U , V = - 1 1 + 2 0 + 6 3 + 1 3

U , V = 20

Calculando a norma de U :

U = - 1 2 + 2 2 + 6 2 + 1 2

U = 42

Calculando a norma de V :

V = 1 2 + 0 + 3 2 + 3 2

V = 19

Verificando a desigualdade:

20 ≤ ( 42 ) ( 19 )

20 ≤ 798

(Aqui a minha dica, quando ta feio assim... é elevar os dois lados ao quadrado e ver quem é maior e tals.... 20 2 é 400 e 798 2 é 798...)

Como 20 é menor que 798 , então vale a desiguladade.

Passo 3

(c) o produto interno:

p , q = a 0 b 0 + a 1 b 1 + … + a n b n

Com p = - 1 + 2 x + x 2 e q = 2 - 4 x 2 : (lembrando como não tem o termo de x no q, então podemos reescrever assim: q = 2 - 0 x - 4 x 2 )

p , q = - 1 ( 2 ) + 2 ( 0 ) + 1 - 4

p , q = - 6

Calculando a norma de p :

p = - 1 2 + 2 2 + 1 2

p = 6

Calculando a norma de q :

q = 2 2 + 0 2 + ( - 4 ) 2

q = 20

Verificando a desiguladade:

- 6 ≤ 6 20

6 ≤ 120

( 6 2   é   36 , e 120 2 é 120)

Como 6 é menor que 120 , então vale a desiguladade.

Resposta

(a) não vale

(b) vale

(c) vale

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