Enunciado

Se a multiplicação por A gira um vetor x → do plano x y por um ângulo θ , qual é o efeito de multiplicar x → por A T ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Primeiro temos que saber que x → = ( a , b ) .

Também precisamos lembrar que R θ é uma matriz de rotação:

R θ = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Passo 2

Agora devemos encontrar R θ T

R θ T = cos ⁡ θ sen ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Como somente a posição do seno é alterada podemos fazer uma correção em R θ T para que ela seja uma matriz de rotação, podemos fazer isso invertendo o valor de θ , logo:

R θ T = cos ⁡ ( - θ ) - sen ⁡ ( - θ ) sen ⁡ ( - θ ) cos ⁡ ( - θ )

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Assim vemos que A rotaciona x → em um ângulo de - θ , ou seja, inverte o sentido de rotação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação; 3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 + 6 2 x + 2 2 y + 2 = 0 . x 2 + 4 y 2 + 3 3 x y - 1 = 0 . x 2 + 4 x y + 4 y 2 - 1 = 0 . 7 x 2 + 5 y 2 + 2 3 x y - 14 + 2 3
Em cada parte, encontre T ( x ) e expresse a resposta em forma matricial.
Num certo instante de tempo inicial, cada um de dois canais de televisão concorrentes, os canais 1 e 2, tem 50 % da audiência. A cada período de um ano, o canal 1 atrai 5 % da audiência do canal 2 e o
Prove que o produto de duas matrizes estocásticas é uma matriz estocástica. [Sugestão: escreva cada coluna do produto como uma combinação linear das colunas do primeiro fator.]
Se P for uma matriz estocástica regular com vetor de estado estacionário q , o que pode ser dito sobre a sequência de produtos P q ,P 2 q ,P 3 q , … ,P k q , … Quando k → ∞ ?