Enunciado

Num certo instante de tempo inicial, cada um de dois canais de televisão concorrentes, os canais 1 e 2, tem 50 % da audiência. A cada período de um ano, o canal 1 atrai 5 % da audiência do canal 2 e o canal 2 captura 10 % da audiência do canal 1.

a Faça uma tabela mostrando a participação na audiência dos dois canais ao longo de um período de cinco anos.

b A longo prazo, qual será a participação na audiência dos dois canais?

Passo 1

Temos que inicialmente os dois canais de tv possuem 50 % da audiência, ou seja, nosso vetor de estado inicial vai ser dado por

x 0 = 50 % 50 %

Agora, das condições mencionadas no enunciado temos que a matriz de transição será dada por

P = 0.9 0.05 0.1 0.95

Dessa forma, podemos fazer a análise para o período de 5 anos fazendo

P x 0 = 0.9 0.05 0.1 0.95 ⋅ 50 % 50 % = 47.5 % 52.2 %  

Para o segundo ano vamos ter

P 2 x 0 = P ⋅ P x 0 = 0.9 0.05 0.1 0.95 ⋅ 47.5 % 52.2 % = 45.375 % 54.625 %

De forma análoga vamos proceder para os anos seguintes e, assim, vamos encontrar o seguinte

P 3 x 0 = P ⋅ P 2 x 0 = 0.9 0.05 0.1 0.95 ⋅ 45.375 % 54.625 % = 4 3 . 5 69 % 5 6 . 431 %

P 4 x 0 = P ⋅ P 3 x 0 = 0.9 0.05 0.1 0.95 ⋅ 43.569 % 56.431 % = 4 2 . 034 % 5 7 . 966 %

P 5 x 0 = P ⋅ P 4 x 0 = 0.9 0.05 0.1 0.95 ⋅ 42.034 % 57.966 % = 4 0 . 729 % 5 9.271 %

Dessa forma, nossa tabela vai ficar sendo

Passo 2

Para avaliarmos a longo prazo a participação de cada canal utilizaremos o seguinte

I - P ⋅ q = 0 → 0.1 - 0.05 - 0.1 0.05 ⋅ q 1 q 2 = 0 0

De onde tiramos que

q 1 = 0.5 q 2 = q 2 2

Como devemos ter que q 1 + q 2 = 1 então

q 1 + q 2 = 1 → q 2 2 + q 2 = 1 → q 2 = 2 3

Assim, a participação de cada canal fica sendo q 1 = 1 / 3 e q 2 = 2 / 3 .

Resposta

a

b

q = 1 / 3 2 / 3

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