Enunciado

a) Mostre que, se p q r ≠ 0 , então os pontos p ,   0 ,   0 ,   0 ,   q ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   r ) não são colineares e o plano determinado por eles pode ser descrito pela equação x p + y q + z r = 1 (sob esta forma, a equação é chamada equação segmentária do plano). Usando os sistemas de coordenadas indicados na Figura 14-7(a), faça esboços no caso em que p = 1 ,   q = 2 e r = 3 2 .

b) Um plano pode ter mais do que uma equação segmentária?

Passo 1

Se p q r ≠ 0 , teremos 3 vetores L.I., pois em:

α p ,   0 ,   0 + β 0 ,   q ,   0 + γ 0 ,   0 ,   r = 0

A única solução possível é α = β = γ = 0 , o que significa independência linear, e se eles são L.I., não são colineares fechou?

Passo 2

Vamos nomear os pontos:

P = ( p ,   0 ,   0 )

Q = ( 0 ,   q ,   0 )

R = ( 0 ,   0 ,   r )

Bem criativos hahahaha mas então gente, um plano determinado por esses 3 pontos vai ter vetores diretores P Q → e P R → :

P Q → = Q - P = ( - p ,   q ,   0 )

P R → = R - P = ( - p ,   0 ,   r )

Vamos fazer o produto vetorial desses dois vetores para encontramos o vetor normal do vetor determinado por eles:

P Q → ∧ P R → = ( q r ,   p r ,   p q )

Passo 3

Então, tendo o vetor normal do plano em mãos, sabemos que uma equação geral pra esse plano é:

q r x + p r y + p q z + d = 0

Se substituirmos o ponto ( p ,   0 ,   0 ) para encontrarmos d :

q r p + p r . 0 + p q . 0 + d = 0

d = - p q r

Então a equação geral do plano é:

q r x + p r y + p q z - p q r = 0

Agora vamos dividir tudo por p q r :

q r x p q r + p r y p q r + p q z p q r - p q r p q r = 0

x p + y q + z r - 1 = 0

E tcharammm:

x p + y q + z r = 1

Chegamos na nossa equação segmentária, ta demonstrado :)

Quando p = 1 ,   q = 2 e r = 3 2 temos:

x + y 2 + z 3 2 = 1

x + 1 2 y + 2 3 z - 1 = 0

Um plano onde o vetor normal é 1 , 1 2 , 2 3 e que passa, por exemplo, pelo ponto ( 1 ,   0 ,   0 ) . Seu esboço é mostrado na figura abaixo:

Passo 4

b) Não, porque a equação segmentária sempre deve ser igualada a 1, se multiplicarmos ou dividirmos a equação por qualquer valor (de forma que ela continue representando o mesmo plano), deixamos de ter uma equação segmentária.

Resposta

b) Não.

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O segmento B E é a base de um triângulo isósceles de vértice A e é também a interseção desse triângulo com o retângulo de vértices B , C , D e E . Os cinco pontos são coplanares. Conhecendo A = ( 1 ,1
Obtenha a equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,1 ,0 + λ( 2 ,1 ,2 ) e é paralelo a s :( x + 1 ) / 2 = y = z + 3 .
Um hexágono regular contido em π : x + y + z - 3 = 0 tem centro H = ( 1 ,1 ,1 ) e seu lado mede 2 . Determine seus vértices sabendo que dois deles pertencem a r : X = 1 ,1 ,1 + λ( 1 ,0 ,- 1 ) .
Existe uma reta paralela a π : X = 0 ,0 ,0 + λ1 ,- 1 ,- 1 + μ( 3 ,0 ,- 1 ) , que contenha P = ( 2 ,2 ,1 ) e seja concorrete com r : X = 1 ,0 ,0 + γ( 2 ,1 ,0 ) ? Por quê?
Determine a projeção do ponto P = ( 1 ,4 ,0 ) sobre o plano π : x + y - 2 z + 1 = 0 , paralelamente à reta r : X = 0 ,0 ,0 + λ( 1 ,4 ,1 ) .