Enunciado

Determine a intersecção dos planos π 1 e π 2 . Quando se tratar de uma reta, descreva-a por equações paramétricas.

a) π 1 : x + 2 y - z - 1 = 0                               π 2 : 2 x + y - z = 1

b) π 1 : z - 1 = 0                                                                   π 2 : y - 2 x + 2 = 0

c) π 1 : x - y = 1 - 3 z                                               π 2 : 6 z - 2 y = 2 - 2 x

d) π 1 : 3 x - 4 y + 2 z = 4                               π 2 : - 15 x + 20 y - 10 z = 9

Passo 1

a) A intersecção dos planos é dada pelo sistema:

x + 2 y - z - 1 = 0 2 x + y - z = 1

Multiplicando a equação de baixo por - 1 :

x + 2 y - z - 1 = 0 - 2 x - y + z = - 1

Agora vamos somar as duas equações, teremos:

- x + y - 1 = - 1

- x + y = 0

x = y

Substituindo isso na primeira equação:

y + 2 y - z - 1 = 0

z = 3 y - 1

Passo 2

Então a intersecção dos dois planos é dada por

x ,   y ,   z = ( y ,   y ,   3 y - 1 )

x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   - 1 + ( y ,   y ,   3 y )

x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   - 1 + y ( 1 ,   1 ,   3 )

Transformando y em um parâmetro λ , encontramos que a intersecção dos planos é a reta:

x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   - 1 + λ ( 1 ,   1 ,   3 )

Que tem equações paramétricas:

r : x = λ y = λ z = - 1 + 3 λ

Passo 3

b) A intersecção dos planos é dada pelo sistema:

z - 1 = 0 y - 2 x + 2 = 0

Da primeira equação, temos:

z = 1

Da segunda equação, temos:

y = 2 x - 2

Passo 4

Então a intersecção dos dois planos é dada por

x ,   y ,   z = ( x ,   2 x - 2 ,   1 )

x ,   y ,   z = 0 ,   - 2 ,   1 + x ( 1 ,   2 ,   0 )

Transformando x em um parâmetro λ , encontramos que a intersecção dos planos é a reta:

x ,   y ,   z = 0 ,   - 2 ,   1 + λ ( 1 ,   2 ,   0 )

Que tem equações paramétricas:

r : x = λ y = - 2 + 2 λ z = 1

Passo 5

c) A intersecção dos planos é dada pelo sistema:

x - y = 1 - 3 z 6 z - 2 y = 2 - 2 x

x - y + 3 z = 1 2 x - 2 y + 6 z = 2

Logo, as duas equações são múltiplas uma da outra, de forma que os planos serão paralelos

Passo 6

Como os planos são paralelos, eles nunca se interceptarão!

Passo 7

d) A intersecção dos planos é dada pelo sistema:

3 x - 4 y + 2 z = 4 - 15 x + 20 y - 10 z = 9

Multiplicando a equação de cima por - 5 :

- 15 x + 20 y - 10 z = 20 - 15 x + 20 y - 10 z = 9

Opa, reparou que as duas equações se tratam de um plano com o mesmo vetor normal, e a única coisa que muda é o coeficiente d ?

Isso quer dizer que esses planos são paralelos, ou seja, eles não vão se cruzar nunca galera!

Resposta

a) r : x = λ y = λ z = - 1 + 3 λ

b) r : x = λ y = - 2 + 2 λ z = 1

c) não se intercepta

d)   não se intercepta

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial por:(b) X = 1,0 , 0 + λ - 1,1 , 0 + μ ( - 1,0 , 1 )
Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial por:(a) X = 1,0 , 0 + λ 0,1 , 0 + μ ( - 1,0 , 1 )
Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha equações gerais dos seis planos bissetores dos diedros determinados pelos planos coordenados.
Verifique se r e π são perpendiculares:(b) r : X = 3 ,1 ,4 + λ - 1 ,0 ,1π : X = 1 ,1 ,1 + λ 0 ,2 ,0 + μ ( 1 ,1 ,1 )
Verifique se r e π são perpendiculares:(c) r : X = 1 ,1, 0 + λ 3 , - 3 ,1π :6 x - 6 y + 2 z - 1 = 0