Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano π que contém s e é paralelo a r : X = 2 ,   0 ,   2 + λ   ( 1 ,   1 ,   1 ) nos casos:

a) s : x - y = 2 x + z - 1 = 1 - 2 y

b) s : x - y = z - 1 = x + 2 y - z

c) s : x + 3 y = 2 x - y + 3 z + 5 = 4 z + 2

Passo 1

Nós queremos achar o plano que contém a reta s e seja paralelo a reta r . Para isso, vamos escrever a equação da reta s na forma vetorial. No item (a) temos

x - y = 2 x + z - 1 x - y = 1 - 2 y ⇒ x + y + z = 1 x + y = 1

Tiramos desse sistema que z = 0 e y = 1 - x . Assim,

X = x ,   y ,   z = x ,   1 - x ,   0 = 0 ,   1 ,   0 + x   ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Essa reta passa pelo ponto A = ( 0 ,   1 ,   0 ) e tem vetor diretor u → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) . Assim, o plano que queremos achar é paralelo a u → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) e v → = ( 1 ,   1 ,   1 ) , de modo que

n → = u → ∧ v → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = ( - 1 ,   - 1 ,   2 )

Vamos usar u → = ( 1 ,   1 ,   - 2 ) , de modo que

x + y - 2 z + d = 0

Como a reta s está contida no plano e o ponto A = ( 0 ,   1 ,   0 ) está contido nela, substituímos ele na equação:

0 + 1 - 0 + d = 0 ⇒ d - 1

Portanto, a equação do plano é

x + y - 2 z - 1 = 0

Passo 2

Já no item (b), a reta s é dada pelo sistema

x - y = z - 1 x - y = x + 2 y - z ⇒ x - y - z = - 1 3 y - z = 0

Portanto, z = 3 y e

x - y - 3 y = - 1 ⇒ x = 4 y - 1

Assim,

X = x , y ,   z = 4 y - 1 ,   y ,   3 y = - 1 ,   0 ,   0 + y   ( 4 ,   1 ,   3 )

Fazendo o produto vetorial:

n → = 4 ,   1 ,   3 ∧ 1 ,   1 ,   1 = i → j → k → 4 1 3 1 1 1 = ( - 2 ,   - 1 ,   3 )

Vamos usar n → = ( 2 ,   1 ,   - 3 ) , de modo que

2 x + y - 3 z + d = 0

Substituindo o ponto ( - 1 ,   0 ,   0 ) , achamos d = 2 . Assim, a equação é

2 x + y - 3 z + 2 = 0

Todavia, não é apenas paralelo à reta r , ele contém a reta r . Sendo assim, não é válido como resposta!

Passo 3

Por fim, no item (c), a equação da reta s é

x + 3 y = 2 x - y + 3 z + 5 x + 3 y = 4 z + 2 ⇒ x - 4 y + 3 z = - 5 x + 3 y - 4 z = 2

Da primeira equação: x = 4 y - 3 z - 5 . Substituindo na segunda:

4 y - 3 z - 5 + 3 y - 4 z = 2 ⇒ 7 y - 7 z = 7 ⇒ y = z + 1

Assim,

x = 4 z + 4 - 3 z - 5 = z - 1

Logo,

X = x , y ,   z = z - 1 ,   z + 1 ,   z = - 1 ,   1 ,   0 + z   ( 1 ,   1 ,   1 )

Como as retas r e s são paralelas (mesmo vetor diretor), existem infinitos plano π !

Resposta

x + y - 2 z - 1 = 0

Não existe

Existem infinitos

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Verifique, que em cada caso, se existe uma reta s paralela a r e contida em π : x - 2 y + 3 z = 0 .(a) r : X = 0 ,1 ,1 + λ ( 1 , - 1 , - 1 ) e s contém P = ( 2 ,1 ,0 ) .
Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r ,s ,t e pelo plano π , nos casos:(c) r : x - y + z = 0r : x = y = z s : x = y = 1 t : X = 1 ,2 ,3 + λ ( 0 ,2 ,1 )
Obtenha uma equação vetorial da reta h paralela ao plano π : x + y + z = 0 , concorrente com as retas r : X = 0 ,0 ,2 + α 1 ,1 ,1 ,s : X = 2 ,0 ,- 5 e t : X = - 3 , - 3 ,3 + γ ( 1 ,0 ,2 ) .
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em s e descreva-o geometricamente.(b) r : X = 1 ,2 ,3 + λ 1 ,2 ,3 s : x + y - z + 1 = 0 2 x - y =
Sejam π 1 : 2 x = y ,π 2 : x = 0 ,π 3 : z = 0 e π 4 o plano determinado por r : X = 1 ,2 ,0 + λ ( 1 ,2 ,- 1 ) e s : x + 1 = z + y = 1 . Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule, se