Enunciado

Obtenha uma equação vetorial da reta h paralela ao plano π : x + y + z = 0 , concorrente com as retas r : X = 0 ,   0 ,   2 + α 1 ,   1 ,   1 ,   s : X = 2 ,   0 ,   - 5 e t : X = - 3 , - 3 ,   3 + γ ( 1 ,   0 ,   2 ) .

Passo 1

Vamos lá!

Devemos obter uma equação vetorial da reta, certo?

Seja a reta h de vetor diretor h → = ( a ,   b ,   c ) paralelo ao plano π :

a ,   b ,   c . 1 ,   1 ,   1 = 0 ⇒ a + b + c = 0

Passo 2

A reta h é concorrente com as retas de equação vetorial:

r :   x = a               y = a               z = 2 + a                     r :   x = 2                     y = β                     z = - 5 + β                     r :   x = - 3 + γ y = - 3               z = 3 + 2 γ

Notem, que o sistema que podemos utilizar para determinar os coeficientes é muito trabalhoso (4 equações não lineares com 4 incógnitas). Logo, vamos utilizar o método geométrico.

Consideremos o plano paralelo a π :

π 1 ∥ π = x + y + z + d = 0

Passo 3

O plano π 1 contém a reta que procuramos, e substituindo este resultado no sistema, obtermos as duas soluções possíveis:

h :   x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 3 - 4 λ                     h :   x = - 4 + 4 λ y = - 3 + λ       z = 1 - 5 λ      

Portanto, a reta que procuramos assume duas formas vetoriais, que são:

h : X = 1 ,   1 ,   3 + λ 1 ,   3 , - 4           ∨           h : X = - 4 , - 3 ,   1 + λ ( 4 ,   1 ,   - 5 )

Resposta

h : X = 1 ,   1 ,   3 + λ 1 ,   3 , - 4           ∨           h : X = - 4 , - 3 ,   1 + λ ( 4 ,   1 ,   - 5 )

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Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano. 6 x + 3 y - 4 z = 6
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano: 3 x + y + 2 z = 6
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano. 2 x + 5 y + z = 10
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano. 6 x + 5 y + 3 z = 15
Determine as coordenadas do vetor diretor da reta de intersecção dos planos x + y + z = 1 e x + z = 0