Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto P e a reta r .

a) P = 1 ,   - 1 ,   1 ,   r : X = 0 ,   2 ,   2 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 1

Como o plano contém a reta r , um dos seus vetores diretores é ( 1 ,   1 ,   - 1 ) , ou seja, o vetor diretor da reta, certo?

Outro vetor diretor do plano vai ser o vetor que liga A = ( 0 ,   2 ,   2 ) , ponto da reta, com o ponto P = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) , que também sabemos que faz parte do plano. Assim:

A P → = P - A = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 )

Passo 2

O vetor normal do plano que queremos vai ser o produto vetorial dos vetores diretores do plano, ou seja:

1 ,   1 ,   - 1 ∧ 1 ,   - 3 ,   - 1 = ( - 4 ,   0 ,   - 4 )

Lembrando: se você trocar a ordem dos vetores no produto vetorial, apenas mudaremos o sentido do vetor normal, mas a direção é a mesma então a resposta continua correta ok?

Então, a equação do plano pode ser escrita assim:

- 4 x + 0 y - 4 z + d = 0

Substituindo o ponto ( 0 ,   2 ,   2 ) , que faz parte do plano, podemos encontrar d :

- 4.0 - 4.2 + d = 0

d = 8

Então, a equação geral do plano é

- 4 x - 4 z + 8 = 0

Dividindo tudo por 4:

- x - z + 2 = 0

Resposta

a) - x - z + 2 = 0

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